Suite convergente divergente

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Suite convergente divergente
Message de kadfr posté le 21-03-2021 à 12:45:10 (S | E | F)
Bonjour,

La suite (Un) est définie par: Uo=2 et pour tout n entier U(n+1)=(Un)²-Un+2
La suite (Un) converge-t-elle ?

Réponse:
Uo=2, U1=4, U2=14 ...
Je conjecture que (Un)est croissante.

Par récurrence:
Uo<U1 vrai
Supposons que pour n fixé U(n+1)>= Un
Soit f(x)=x²-x+2 sur le modèle de la suite
f est strictement croissante sur [1/2;+oo[ ( je l'ai étudiée)

donc f(U(n+1)>= f(Un)
U(n+2)>= U(n+1)
donc (Un) est héréditaire.....
La suite est bien strictement croissante.

Mais je ne vois pas comment montrer qu'elle est majorée ou non.

Merci d'avance.

Réponse : Suite convergente divergente de hicham15, postée le 21-03-2021 à 14:34:31 (S | E)
Bonjour

Ta suite est non majorée

Pour le montrer, il suffit de montrer que Un > n, pour tout entier naturel n.

Indication de démonstration : x^2-x+2 >= x+1, pour tt x de R. Car (x-1)^2 >= 0 pour tt x de R.

Courage

J'espère que je n'ai pas fait de betise, i was in a hurry, sorry.

Réponse : Suite convergente divergente de tiruxa, postée le 21-03-2021 à 16:53:06 (S | E)
Bonjour,

Oui Hicham15, mais je rajouterai qu'il faut utiliser une récurrence.

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 22-03-2021 à 11:34:18 (S | E)
P(n):Un>=n
Alors Uo=2 et 2>1 donc P(0) vraie

Supposons que Un>=n pour n fixé.
On sait que U(n+1) >= Un
Donc en utilisant P(n) on obtient:
U(n+1) >= Un >= n

La suite (Un) est héréditaire et ...(la phrase à connaitre)
La suite (Un) est strictement croissante et non majorée donc n'est pas convergente.

J'ai des doutes sur ma démonstration car trop facile.

Réponse : Suite convergente divergente de roseodile, postée le 22-03-2021 à 13:28:17 (S | E)
Bonjour, effectivement la démonstration est trop facile. Pour démontrer l'hérédité, il faut à partir de l'hypothèse Un >= n démontrer la même propriété au rang n+1 , c'est à dire U(n+1)>= n+1.
Arès l'avoir prouvé, utiliser x^2-x+2 >= x+1 qui est vrai pour toute valeur de x donc pour Un....
Bon courage

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 23-03-2021 à 12:03:24 (S | E)
Je reprends.
P(n):Un>=n
Alors Uo=2 et 2>1 donc P(0) vraie

Supposons que Un>=n pour n fixé.
f croissante donc f(Un)>= f(n) >= n+1
On obtient U(n+1) >= f(n) > n+1
U(n+1) >= n+1, l'hérédité est démontrée.

Votre verdict ?

Réponse : Suite convergente divergente de hicham15, postée le 23-03-2021 à 12:47:28 (S | E)
Bonjour

Oui t'as bien montré l'hérédité...même si ce n'est pas la méthode qu'on attendait ( peut etre moi seulement les autres aussi je pense ).

Juste deux remarques : 1)il faut définir la fonction f avant de l'utiliser ( question de clarté)
2) il faut être plus précis et méfiant : ta fonction f n'est pas croissante (sur R), elle est croissante juste sur un intervalle contenant ]1; +inf [ ( juste cet intervalle qui nous interesse ..).

A toi de deviner la méthode qu'on attendait, et qui ne nécissite pas la notion de croissance..

have a good day

Réponse : Suite convergente divergente de tiruxa, postée le 23-03-2021 à 14:06:21 (S | E)
Oui Hicham on attendait une autre méthode mais bon c'est valable aussi.

Toutefois comme tu l'as dit, f est croissante sur [1; +inf[ donc il serait plus correct de démontrer que un >= n pour n supérieur à 1 de façon à bien être dans l'intervalle pour tout n.

L'initialisation devient alors u1 >= 1 , le reste ne change pas.
(à ce sujet il y avait une petite erreur dans la solution de kadfr c'était uo >= 0 non pas à 1 puisqu'il commençait à n égal à zéro)

Réponse : Suite convergente divergente de hicham15, postée le 23-03-2021 à 14:38:38 (S | E)
ahhh oui , désolé je n'ai pas fait attention à l'initilisation ( je ne l'ai même pas vu pour être honnet ) merci pour la remarque Monsieur.

Une remarque importante qu'on a oublié de faire : cette comparaison ( Un>=n pour tt n de N) ne justifie pas seulement que (Un) est non majorée, elle est aussi suffisante pour conclure que (Un) tends vers +inf. ( sans montrer que cette suite est croissante ).

Donc pour répondre à ta question : il suffit de montrer la comparaison puis conclure, sans montrer la croissance.

Bonne journée à tous

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 24-03-2021 à 18:49:55 (S | E)
Donc pour répondre à ta question : il suffit de montrer la comparaison puis conclure, sans montrer la croissance.

sans montrer la croissance de la suite ou la croissance de la fonction ?

Réponse : Suite convergente divergente de tiruxa, postée le 24-03-2021 à 19:09:53 (S | E)
Sans montrer la croissance de la suite

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 25-03-2021 à 12:30:31 (S | E)
Bon je reprends.

Proposition: Un>=n
On a démontré que f(x)=x²-x+1 >= x+1 et f croissante sur ]1; +inf [
Donc f(Un)>=f(n) et f(n)>= n+1 qui donne U(n+1) >= n+1 et la suite diverge.

Encore une fois je trouve que c'est facile quand on réfléchit un peu plus mais je ne m'avance pas trop.

Réponse : Suite convergente divergente de tiruxa, postée le 25-03-2021 à 13:39:14 (S | E)
Oui c'est tout fait ça, précisez juste au départ que n est un entier supérieur à 1 (pour être dans l'intervalle [1;+inf[)

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 25-03-2021 à 17:29:51 (S | E)
Ok.
J'ai pensé à une chose:
Si la suite converge vers une limite L alors L est solution de L²-L+2=L
Cette équation n'a pas de solutions.
Est ce l'idée est valable avec une bonne rédaction ?

Réponse : Suite convergente divergente de tiruxa, postée le 25-03-2021 à 18:02:55 (S | E)
Ben disons que c'est un raisonnement par l'absurde, tu admets que la suite a une limite finie L et on aboutit a une absurdité du genre un positif égal à nombre strictement négatif (L-1/2)²=-3/4.

Conclusion l'hypothèse est absurde et (Un) n'a pas de limite finie, elle est donc divergente(attention toutefois on n'a pas pour autant démontré que sa limite est +inf, elle pourrait ne pas avoir de limite du tout)

Réponse : Suite convergente divergente de roseodile, postée le 25-03-2021 à 19:21:03 (S | E)
Bonsoir, je reviens avec un peu de retard sur le sujet. On peut aussi utiliser ce qui a été démontré
Un >= n, la limite de la suite terme général n est +inf, donc la limite de la suite Un est
+ infini .
Bonne soirée

Réponse : Suite convergente divergente de hicham15, postée le 25-03-2021 à 22:18:59 (S | E)
Bonjour

Voici le bilan de toutes les méthodes,qui me parait possible, pour montrer que ta suite admet +inf comme limite :

1) montrer la croissance de la suite + non majoration de la suite ( par ex avec la comparaison avec la suite (n) ) [ i.e suite croissante non majorée ]

2) la comparaison avec la suite (n), puis conclure directement [ i.e Un ≥ Vn avec (Vn) admet +inf comme limite ]

3) montrer la positivité et la croissance de la suite + procéder par absurde ( en supposant que la limite est fini ) [i.e suite positive croissante ( donc admet une limite soit +inf soit finie positive) puis éliminer le choix de limite finie par absurde ]

Bonne journée

Réponse : Suite convergente divergente de kadfr, postée le 26-03-2021 à 11:32:27 (S | E)
Merci à vous tous pour cette aide, c'était très bien.

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