Arithmétique
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Message de harmonique posté le 26-11-2020 à 08:10:42 (S | E | F)
Svp besoin d'aide.
Montré que si la fraction a/b est irréductible , alors il en est de même de (a²+b²)/ab.
Merci d'advance
Message de harmonique posté le 26-11-2020 à 08:10:42 (S | E | F)
Svp besoin d'aide.
Montré que si la fraction a/b est irréductible , alors il en est de même de (a²+b²)/ab.
Merci d'advance
Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 26-11-2020 à 14:56:10 (S | E)
Bonjour
On peut procéder par l'absurde en supposant que a²+b² et ab ait un diviseur commun k (k dans N)
Comme a et b sont premiers entre eux, si k divise ab alors il divise a ou bien b
Prenons le cas où k divise a (l'autre cas se résout de même)
On a supposé que k divise aussi a²+b², donc a²+b²=k*n avec n entier donc b²=k*n - a² ce qui conduit à une absurdité, je vous laisse terminer la rédaction.
Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 26-11-2020 à 15:43:32 (S | E)
Bonjour
une deuxième méthode :
on a pgcd(a,b)=1,
donc d'apres Bezout ∃(u,v)∈Z^2, au + bv= 1
d'ou (a+b)u + b(v-u) = 1
donc (a+b) et b sont premiers entre eux
de meme, on trouve que (a+b) et a sont premiers entre eux
alors (a+b) et ab sont premiers entre eux (car ab est produit de a et b)
donc (a+b)^2 et ab sont premier entre eux
on applique maintenant Bezout, ∃(u',v')∈Z^2 : u'(a+b)^2 + v'ab = 1
d'ou : u'(a^2 + b^2) + ab (v' + 2u') = 1 ( l'identité remarquable )
Donc (a^2 + b^2) et ab sont premiers entre eux
Bonne journée
Réponse : Arithmétique de harmonique, postée le 26-11-2020 à 21:04:20 (S | E)
Merci bien
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