Nombres complexes

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Nombres complexes
Message de maskhonit posté le 19-10-2020 à 17:13:00 (S | E | F)
Bonjour
J'ai un dm à faire et je suis bloqué sur cet exo:

Pour tout complexe z ≠ i on pose z′ = (iz-1)/(z-i) .

Montrer que z′ ∈ ℝ si et seulement si zz(barre)= 1

Merci d'avance pour votre aide

Réponse : Nombres complexes de wab51, postée le 19-10-2020 à 18:47:52 (S | E)
Bonsoir
Soit z=x+iy .
1)Remplacer la forme algébrique de z=x+iy dans l'expression de z'=(iz-1)/(z-i) puis développer les calculs pour mettre z' sous la forme
de (a+ib)/(a'+ib')
2)Rendre le dénominateur réel en multipliant "le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur puis développer les calculs pour tomber sur une forme réduite de z'=r+is et par conséquent z'réel ssi s=0 .
Remarque:
Prendre bien soin en effectuant les calculs .Présentez votre travail pour vérification .Bon courage

Réponse : Nombres complexes de tiruxa, postée le 19-10-2020 à 19:48:58 (S | E)
Bonsoir,

La méthode de Wab51 (que je salue) est bien sûr la plus utilisée et il faut absolument savoir la maitriser.

Il en existe toutefois une autre si vous voulez l'essayer :

z' est dans R si et seulement si z'=conjugué(z') , (c'est à dire z' barre)

C'est facile a transformer car le conjugué d'un quotient est le quotient de conjugués... de même pour le produit ou encore la somme.
En faisant les produits en croixon arrive à z*conjugué(z)=1 après simplification.

Réponse : Nombres complexes de roseodile, postée le 19-10-2020 à 19:53:27 (S | E)
On peut utiliser également une autre méthode, utiliser les propriétés des conjugués: un nombre complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué
1) On calcule le conjugué de z'en utlisant les propriétés des conjugués (somme, produit, quotient)
2) On écrit que z'=z'(barre) . Les calculs sont moins longs que par l'autre méthode.

Bon courage et reportez vous à votre cours, revoyez les opérations sur les conjugués

Réponse : Nombres complexes de wab51, postée le 19-10-2020 à 23:03:42 (S | E)
Bonsoir tiruxa-Bonsoir roseodile
Parfaitement d'accord .Que,le correspondant "maskhonit" m'excuse pour ma réponse hâtive .Elle est lourde ...Je m'en avais aperçu que trop tard.
Mes remerciements à tiruxa et roseodile. Bonne continuation et bon courage .

Réponse : Nombres complexes de maskhonit, postée le 20-10-2020 à 18:08:31 (S | E)
Bonsoir d’abord merci pour vos explications.

J’ai appliqué ce que vous m’avez dit mais je suis bloqué

Voilà ce que j’ai fait :

z' ∈ ℝ ⇔ z’ = conjugué(z)’
⇔ (iz-1) /(z-i) = conjugué[(iz-1) /(z-i)]
⇔ (iz-1) /(z-i) = [i*conjugué(z)-1] /(conjugué(z)-i)
⇔ [(iz-1) (z+i)] /[(z-i) (z+i)] = [(i*conjugué(z)-1) (conjugué(z)+i)] /[(conjugué(z)-i) (conjugué(z)+i)]
⇔ (iz^2-2z-i) / (z^2+1) = [i*conjugué(z)^2-2*conjugué(z)-i] / [conjugué(z)^2+1]

Pour la suite je ne sais pas comment m’y prendre

Réponse : Nombres complexes de wab51, postée le 20-10-2020 à 19:23:03 (S | E)
Bonsoir

Votre erreur de calcul provient du conjugué de i .( voir ci dessus résultat)

2) Effectuer le produit en croix puis simplifier et réduire .Bon courage

Réponse : Nombres complexes de roseodile, postée le 20-10-2020 à 19:25:40 (S | E)
Bonsoir,

Le conjugué de a+ib est a-ib .Le conjugué de i est donc -i
Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, attention à écrire correctement le conjugué de iz...
Relisez vos calculs , certains termes s'annulent et à la fin il ne reste que le résultat cherché
Bon courage

Réponse : Nombres complexes de tiruxa, postée le 20-10-2020 à 19:50:51 (S | E)
Bonjour,

Je rajoute que sur la fin vous avez voulu utiliser la première méthode (en vous trompant) alors qu'il suffit de faire le produit en croix puis développer et réduire à partir de la ligne corrigée en rouge ci dessous :

z’ = conjugué(z)’
⇔ (iz-1) /(z-i) = conjugué[(iz-1) /(z-i)]
⇔ (iz-1) /(z-i) = [conjugué(i)*conjugué(z)-1] /(conjugué(z)-conjugué(i))

Réponse : Nombres complexes de maskhonit, postée le 20-10-2020 à 20:54:46 (S | E)
Bonsoir,

Merci pour vos explications, je pense avoir compris.

Voilà ce que j'ai fais:
z' ∈ ℝ ⇔ z’ = conjugué(z)’
⇔ (iz-1) /(z-i) = conjugué[(iz-1) /(z-i)]
⇔ (iz-1) /(z-i) = [-i*conjugué(z)-1] /(conjugué(z)+ i)
⇔ (iz-1) (conjugué(z)+ i) = [-i*conjugué(z)-1] (z-i)
⇔ iz*conjugué(z) -z -conjugué(z)-i = - iz*conjugué(z) -conjugué(z) –z +i
⇔ iz*conjugué(z) -i = -iz*conjugué(z) +i
⇔ i(z*conjugué(z) -1) = i(-z*conjugué(z) +1)
⇔ z*conjugué(z) -1 = -z*conjugué(z) +1
⇔ 2 z*conjugué(z) = 2
⇔ z*conjugué(z) = 1

Réponse : Nombres complexes de maskhonit, postée le 20-10-2020 à 21:34:50 (S | E)
J’ai aussi besoin d’aide pour résoudre une équation :
2z − 2i *conjugué(z) = -5 –i
J’ai donc fait cela :
Soit z = x + iy où x et y sont deux nombres réels
On a alors :
⇔ 2(x+iy) -2i(x-iy) = -5 -i
⇔ 2x+2iy-2ix-2y = -5 -i
⇔ 2x-2y+i(-2x+2y) = -5 -i

2x-2y = -5
⇔ -2x+2y = -1
Mais je tombe sur un système d’équation qui n’a pas de solution…
Merci pour votre aide

Réponse : Nombres complexes de tiruxa, postée le 21-10-2020 à 12:27:36 (S | E)
Bonjour,

La résolution de la question de départ est juste , c'est bien.

Attention toutefois pour une autre question il faut ouvrir un nouveau sujet (règle du forum)

Mais comme la réponse est simple j'y réponds ici, en effet cette équation n'admet pas de solution.

Soit l'énoncé est erroné soit on voulait vous faire remarquer que certaines équations sont sans solutions dans C.

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