Noyaux et images itérés

Bonjour à tous

Soient E un  espace vectoriel de dim finie n, et u appartient à L(E).

On nous demande de montrer qu'il existe un entier p>=1 tel que pour tout k>=p, on a:

Ker(u^k) inclus dans Ker(u^p) , Im(u^k) inclus dans Im(u^p) et Ker(u^p) intersection Im(u^p) réduit à {0}

J'ai déjà montrer que :

Ker(u^(k-1 )) inclus dans Ker(u^k) et Im(u^k) inclus dans Im(u^(k-1) ) pour tout k>0 

Merci d'avance.