Problème cumulants d'ordre impair

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Problème cumulants d'ordre impair
Message de floriandx posté le 07-05-2019 à 17:50:45 (S | E | F)
Bonjour,s'il vous plaît,j'ai une question concernant la question 5)c) de ce problème (j'ai indiqué ma question en vert à droite dans le lien du corrigé de la question 5)c) ).
En effet, je voudrais savoir, quand il est dit "Donc les dérivées d'ordre impair de Kx s'annulent en 0 (puisque fonctions impaires)", mais je n'ai pas compris le lien entre le fait que les dérivées d'ordre impair de Kx soient des fonctions impaires et le fait qu'elles s'annulent donc en "0" ?
En quoi le "puisque fonctions impaires" entre parenthèses est important pour que ça s'annule en "0" ?

lien énoncé page 01: Lien internet

lien énoncé page 02: Lien internet

lien énoncé page 03: Lien internet

lien énoncé page 04: Lien internet

lien corrigé question 5)c): Lien internet

MERCI infiniment.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 07-05-2019 à 19:14:14 (S | E)
Bonjour

Si une fonction f impaire est définie en 0, on a f(0)+f(-0)=0
donc 2f(0)=0 donc f(0)=0

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 08-05-2019 à 02:54:25 (S | E)
Bonjour, mais je ne vois pas en quoi le fait que la fonction soit "impaire" est important, car si la fonction est paire, on a la même chose:

Si une fonction f paire est définie en 0, on a f(0)+f(-0)=0
donc 2f(0)=0 donc f(0)=0

?

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 08-05-2019 à 07:41:16 (S | E)
Bonjour
Pas du tout, si f est paire on a f(-x)=f(x) pour tout réel x de l'ensemble de définition de f.

Donc f(0)=f(-0) ce qui n'apporte aucun renseignement concernant f(0).

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 08-05-2019 à 19:05:42 (S | E)
Bonjour, ah oui d'accord j'ai compris !

En fait, si on a une fonction f impaire qui est définie en 0, on a f(0)+f(-0)= f(0) - f(0) = 0
donc 2f(0)=0 donc f(0)=0

Alors qu'avec une fonction paire on obtient aucun renseignement sur f(0) en faisant cette manipulation, car on obtient :

si on a une fonction f paire qui est définie en 0, on a f(0)+f(-0)= f(0) + f(0) = 2 f(0)
donc 2f(0)=2 f(0) donc f(0)=f(0)

Donc on sait qu'une fonction impaire est toujours nulle en 0.

Merci :-)

Et par contre j'aurais souhaité savoir, est-ce que pour faire cette question 5)c) on pouvait faire plus simple et dire: "On a vu à la question 5)a) que Kx(0)=0, donc en dérivant cette relation on a : Kx'(0)=0, et donc toutes les dérivées de Kx sont nulles, car la dérivée de "0" donnera toujours "0".
Donc toutes les dérivées de Kx en 0 sont nulles.
Et donc en particulier, toutes les dérivées de Kx d'ordre impair sont nulles en 0, c'est-à-dire que tous les cumulants d'ordre impair de X sont nuls."

Est-ce correct également comme réponse ?

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 08-05-2019 à 23:50:25 (S | E)
Bonjour,

Non, pour l'expliquer je prends un exemple
Soit f tellle que f(x)= x²+x
On a f(0)=0

mais pour tout réel x, f'(x)=2x+1 donc f'(0)=1

On ne peut pas procéder comme tu le fais car le nombre dérivé en 0 dépend des valeurs de f dans un intervalle contenant 0, pas seulement de f(0), si tu préfères imagine cela graphiquement, f'(0) c'est le coefficient directeur de la tangente au point 0 à la courbe représentant f.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 09-05-2019 à 18:51:40 (S | E)
Bonjour, d'accord merci.

Et par contre j'aurais souhaité savoir, concernant la question 7)d) comment trouve-t-on le résultat que j'ai entouré en vert dans le corrigé de la question 7)d) dans le lien ci-dessous, c'est-à-dire comment trouve-t-on que Mu'(t)=1/2+o0(1) ?
Car j'ai essayé au brouillon mais je n'arrive pas à aboutir et à retrouver la même chose : Lien internet

lien corrigé question 7)d) : Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

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Modifié par floriandx le 10-05-2019 19:36

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 09-05-2019 à 19:29:47 (S | E)
Bonjour,
Tu trouves la même chose mais les EPS(t) sont moins bien gérés
Ne pas tous les appeler avec la même lettre, utilises des prime, seconde, ou bien des indices...

mais bon en reprenant ce que tu as à la fin : 1/2 + t/2 + (t+1)EPS(t)

la limite est bien 1/2 quand t tend vers 0.

De plus si on pose : EPS'(t)=t/2 + (t+1)EPS(t)
le résultat est donc 1/2 + EPS'(t)
ce qui est conforme à la correction.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 10-05-2019 à 20:23:42 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci j'ai compris, en fait on a :

(t+1) (1/2 + EPS(t) )

i.e.: 1/2 + t/2 + (t+1)EPS(t)

la limite est bien 1/2 quand t tend vers 0.

De plus si on pose : EPS'(t)=t/2 + (t+1)EPS(t)
le résultat est donc Mu'(t) = 1/2 + EPS'(t) en 0

On pose : EPS'(t) = EPS(t), on a:

Mu'(t) = 1/2 + EPS(t) * 1 en 0

i.e: Mu'(t) = 1/2 + o(1) en 0

Et par contre j'aurais souhaité savoir, concernant la question 8)a), pourquoi on a "pour tout IR , Mu(t)>0 " ?
Ce n'est pas vrai, pour que Mu(t) soit >0, il faut que t>0 et non pas juste que "t appartient à IR" ?
Car : Mu(t)>0

i.e.: (exp(t)-1)/t >0

i.e.: exp(t)-1>0

i.e.: exp(t)>1

i.e.: t > ln(1)

i.e.: t > 0

(c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé de la question 8)a) ci-dessous)

lien corrigé question 8)a) : Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 10-05-2019 à 21:54:10 (S | E)
Bonjour

Je suppose que Mu(t)=(exp(t)-1)/t si t non nul et Mu(0)=1 (pour des raisons de continuité en 0)
On a
exp(t)-1 > 0 ssi t > 0
et
exp(t)-1 < 0 ssi t < 0

Donc si t >0, Mu(t)> 0
mais si t <0 on a aussi Mu(t)>0
Comme Mu(0)=1 finalement Mu est strictement positive sur R.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 11-05-2019 à 21:50:18 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci j'ai compris.
Et par contre j'aurais souhaité savoir, toujours concernant cette question 8)a), en quoi le fait que "pour tout IR , Mu(t)>0 " implique que "pour tout IR, (ß-alpha)t appartient à Du" ?

(c'est ce que j'ai indiqué en rouge dans le lien du corrigé de la question 8)a) ci-dessous)

lien corrigé question 8)a) : Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 12-05-2019 à 20:13:08 (S | E)
Bonsoir à la question 5, il est dit que : DX est le domaine de définition de la fonction KX

Or KX est ln(MX)

Donc t est élément de DU ssi MU(t) >0

On a démontré que MU(t)> pour tout réel t donc DU est l'ensemble des réels, le nombre (beta - alpha) t est donc dans DU.

Ce qui permet de calculer KX ((beta - alpha)t)

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 22-05-2019 à 20:52:34 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci j'ai compris.
Et par contre j'aurais souhaité savoir, concernant la question 11)c), comment obtient-on ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé ci-dessous là où j'ai indiqué "comment obtient-on ça?"
En effet, comment obtient-on "(1-e^(t/n^(1/2)) = -t/n^(1/2)-(1/2)*t^2/n^2+o(1/n^2)" ?

(c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé de la question 11)c) ci-dessous)

Car j'ai tenté quelque chose au brouillon dans le lien du brouillon ci-dessous, mais je n'abouti pas, je n'arrive pas à retrouver le résultat du corrigé.

lien corrigé question 11)c) : Lien internet

lien essai brouillon: Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 23-05-2019 à 09:45:15 (S | E)
Bonjour,

Effectivement il y a une erreur (ou plutôt deux erreurs qui se compensent) dans le corrigé.

En fait l'erreur est sur le terme en t² dont le dénominateur est (2n) au lieu de (2n²) comme indiqué dans le corrigé.

On voit bien que c'est une erreur puisque, à la ligne suivante, en multipliant par (-n) ce dénominateur, après simplification par n, devient 2 (si c'était 2n² on aurait eu 2n après simplification).

En conclusion le résultat du corrigé est correct mais pour y arriver il faut utiliser le résultat de ton calcul.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 23-05-2019 à 15:13:56 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci.
Mais donc il y a aussi une autre erreur, car dans le petit o, ce n'est pas "1/n^2" mais "1/n" plutôt ?
(c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé de la question 11)c) ci-dessous)

Car d'ailleurs sur le brouillon où j'ai refait le calcul du corrigé, on voit bien qu'on a "1/n" et non pas "1/n^2" ?

lien corrigé question 11)c) : Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 24-05-2019 à 11:05:59 (S | E)
Bonjour,

En effet c'est o(1/n) en +inf, puisque le terme est en fait -(1/6)(t^3/(n.racine(n))

soit (1/n).phi(n) avec phi(n)= -(1/6)(t^3/racine(n)

et la limite de phi(n) est nulle en +inf

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 24-05-2019 à 21:54:04 (S | E)
Bonjour, d'accord merci, mais je ne comprends pas quand vous dites " le terme est en fait -(1/6)(t^3/(n.racine(n)) ". Pourquoi dites-vous cela ? Car à aucun moment je ne trouve cela dans mon calcul sur le brouillon et je ne pense pas m'être trompé ?

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 25-05-2019 à 12:54:20 (S | E)
Bonjour,

Je donnais simplement le terme suivant du développement en série de l'exponentielle mais c'est inutile pour votre calcul, vous avez raison, votre calcul est correct, pas de soucis.

Bonne continuation

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 25-05-2019 à 16:08:40 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci.

Et par contre j'aurais souhaité savoir, toujours concernant la question 11)c), comment obtient-on le résultat final du corrigé, c'est-à-dire "Kwn(t)=(t^2)/2+o(1/n)" en +oo

Car j'ai tenté quelque chose au brouillon dans le lien du brouillon ci-dessous, mais je n'abouti pas, je n'arrive pas à retrouver le résultat du corrigé, moi je trouve "Kwn(t)=(t^2)/2+o(1)" en +oo

lien corrigé question 11)c) : Lien internet

lien essai brouillon: Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 25-05-2019 à 17:43:07 (S | E)
Bonjour,

Ma fois oui, c'est logique puisque on multiplie par n, on obtient o(1) vous avez raison.

Mais cela suffit pour affirmer que Kwn tend vers Kw quand n tend vers +inf.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 26-05-2019 à 16:08:30 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci.
Et aussi j'aurais souhaité savoir, concernant la question 12 cette fois-ci, car je pense qu'il y a une erreur dans le corrigé, là où j'ai entouré aux deux endroits, ce n'est pas "t", mais "0" plutôt ?
(c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé de la question 12) ci-dessous)

lien corrigé question 12: Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 26-05-2019 à 16:31:39 (S | E)
Bonjour

Oui tout à fait d'après la définition de Q _p(X) donnée avant la partie I.

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 27-05-2019 à 17:26:29 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci.
Et aussi j'aurais souhaité savoir, concernant la question 13)a) cette fois-ci, car je pense qu'il y a une erreur dans le corrigé, là où j'ai entouré en vert, car le carré que j'ai entouré, c'est une erreur non ? Il faut l'enlever ?
(c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé de la question 13)a) ci-dessous)

lien corrigé question 13)a): Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de tiruxa, postée le 28-05-2019 à 07:57:20 (S | E)
Bonjour,

En effet c'est une autre erreur !

J'en ai profité pour en corriger deux autres (voir les commentaires en rouge) sur l'image :

Lien internet

Réponse : Problème cumulants d'ordre impair de floriandx, postée le 28-05-2019 à 13:51:46 (S | E)
Bonjour, ah d'accord merci. Et merci beaucoup pour la correction des deux autres erreurs je ne les avait pas du tout remarqué :-)
Et aussi j'aurais souhaité savoir, concernant la question 13)b) cette fois-ci, quand il est dit dans le corrigé "X1 et -X2 possèdent le même intervalle de définition de leurs fonctions K respectives puisque c'est celui de X."
Pourquoi ? Car on ne nous dit pas que "-X2" suit la même loi que X ?
On sait juste que X2 suit la même loi que X mais pas -X2 ?
(c'est ce que j'ai indiqué en vert à droite dans le lien du corrigé de la question 13)b) ci-dessous)

lien corrigé question 13)b): Lien internet

Merci d'avance pour votre réponse

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