Ex arithmétique

Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]

Ex arithmétique
Message de bossken1 posté le 08-05-2018 à 01:58:02 (S | E | F)
Bonjour tous le monde,

s'il vous plaît j'ai un problème avec un exercice d'arithmetique s'il y a quelqu'un peut m'aider .

1- d'abord j'ai démontrer que : soit x un nombre $x\in Z$ 2 et 13 divise $x^{13}-x$

2- ensuite j'ai démontrer que $x^{13}\equiv x [26]$

3- la question qui pose problème : démontrer que si $y\equiv x^{5} [26]** // **A$ alors $y^{5} \equiv x [26]$

et il reste une seule question après ça

merci d'abord et je souhaite quelqu'un me repend

-------------------
Modifié par webmaster le 06-06-2018 10:13

-------------------
Modifié par webmaster le 06-06-2018 10:14

-------------------
Modifié par webmaster le 06-06-2018 19:39

-------------------
Modifié par webmaster le 06-06-2018 19:41

Réponse : Ex arithmétique de puente17, postée le 08-05-2018 à 11:28:03 (S | E)
Bonjour,

si y≡ x^5 [26] → y^5 ≡ ? [26]
utiliser ensuite le résultat précédent
x^13 ≡ x → x^26 ≡ ?
...
x (x^25 - x) ≡ 0 [26] le problème ici c'est que Z/26Z n'est pas un anneau intègre et que l'on ne peut pas en tirer de conséquence quant à x^25 - x ≡ 0 [26]

Il faudrait peut-être essayer de passer par Z/13Z et Z/2Z qui eux sont des corps

et utiliser ensuite:
si a ≡ b [p] et si a ≡ b [q] avec p et q premiers entre eux alors a ≡ b [pq]

En espérant que cela puisse aider car je ne sais pas à quel niveau il faut ce situer (ce dont je parle n'est pas du niveau lycée en France???)

Réponse : Ex arithmétique de bossken1, postée le 08-05-2018 à 12:34:45 (S | E)
bonjour;

merci pour la réponse, mais j'ai pas bien compris comment je vais passer a partir de Z/13Z et Z/2Z vers la résolution ( je suis un débutant à propos de l'arithmetique )

Réponse : Ex arithmétique de puente17, postée le 09-05-2018 à 02:28:33 (S | E)
Oui, re-bonjour.

Il y a certainement une façon plus simple puisque tu dis être débutant mais je ne la vois pas.

Il faut savoir que a . b ≡ 0 [26] n’entraîne pas que a ≡ 0 ou b ≡ 0 (exemple: 2 ≠ 0 [26] et 13 ≠ 0 [26] et cependant 2x13 ≡ 0 [26]) par contre cette propriété est vraie si a x b ≡ 0 [13] ou [2] car 2 et 13 sont premiers.

En reprenant ce que tu as fais dans les 2 premières questions et mes explications précédentes on a:
x^13 ≡ x [13] → x^26 ≡ x² [13] → x^26 - x² ≡ 0 [13] → x ( x^25 - x) ≡ 0 [13] (même chose modulo 2)

Si x ≠ 0 [2] et x ≠ 0 [13] alors x^25 - x ≡ 0 modulo 13 et 2 et donc x^25 - x ≡ 0 [26] donc y^5 ≡ x [26]

à cause du théorème :si a ≡ b [p] et si a ≡ b [q] avec p et q premiers entre eux alors a ≡ b [pq]
la dém. est simple: a-b = hp et a-b = kq donc hp = kq comme p et q sont premiers entre eux alors q divise h donc h = qv et a-b = v pq donc a-b ≡ 0 [pq]

reste à voir les cas:
• si x ≡ 0 [2] → x^25 - x = x(x^24 - 1) ≡ 0 [2] et si x ≠ 0 [13] → x^25 - x ≡ 0 [13] donc d’après le théorème x^25 - x ≡ 0 [26]

• si x ≡ 0 [13] → x^25 - x = x(x^24 - 1) ≡ 0[13] et si x ≠ 0[2] → x^25 - x ≡ 0 [2] donc d'après le th. ....

• idem avec le dernier cas: x ≡ 0 [2] et x ≡ 0 [13]

Conclusion: pour tout x de Z : x^25 -x ≡ 0 [26] et donc y^5 = x^25 ≡ x [26]

Désolé de ne pas avoir pu proposer une solution plus simple.

Remarque:
Je serais curieux de voir ta solution pour 1) et 2) car en fait d'après le th que je t'ai donné il n'y a rien à démontrer pour 2) c'est une conséquence directe de 1) .

Réponse : Ex arithmétique de bossken1, postée le 09-05-2018 à 14:10:01 (S | E)
ahh merci beaucoup pour ta réponse

pour ma solution de la question n1 pour  c'est d'après le théo de FERMA (car 13 est un nombre premier ) et pour 2 divise x^13-x : si 2 divise x alors c'est clair mais si 2 ne dise pas x alors  ou         alors 2 divise x^13-x et pour 2) c'est d'après ce que vous avez dit

merci une autre fois pour vos effors

Réponse : Ex arithmétique de bossken1, postée le 09-05-2018 à 14:20:10 (S | E)
ahhh je suis désolé pour la derniere réponse je vais la recopie
pour ma solution de la question n1 pour c'est d'après le théo de FERMA 13 divise x^13-x (car 13 est un nombre premier )
et pour 2 divise x^13-x : si 2 divise x alors c'est clair mais si 2 ne dise pas x alors x congru 1 modulo 2 ou xcongru -1 modulo 2 >> x congru 1 modulo 2 >> x^12 congru 1 modulo 2 >> x^13 congru x modulo 2 alors 2 divise x^13-x
pour 2) c'est d'après ce que vous avez dit

Réponse : Ex arithmétique de megacolossal, postée le 09-05-2018 à 23:18:54 (S | E)
Bonjour,

Je crois qu'on peut le faire comme ça :

on a :

$y \equiv x^{5} \left[26 \right], x^{13} \equiv x \left[26 \right]$

donc $y^{5} \equiv (x^{5})^{5} \left[ 26 \right]** // **A** // **A\Rightarrow y^{5} \equiv x^{25} \left[ 26 \right]$

mais   $x^{25} = x^{13} \times x^{12}$ et $x^{13} \equiv x \left[26 \right]** // **A$

donc   $x^{25} \equiv x \left[26 \right] \Rightarrow y^{5} \equiv x \left[26 \right]$

Réponse : Ex arithmétique de puente17, postée le 10-05-2018 à 09:28:52 (S | E)
Bonjour au deux,

Bravo, enfin une solution élégante, ça fait plaisir après le bourbier dans lequel je m'étais mis.

Réponse : Ex arithmétique de wab51, postée le 10-05-2018 à 18:59:54 (S | E)
Bonsoir à tous

mais   et

donc

Oui,pour la méthode sauf qu'il manquait un détail ,entre l'avant dernière ligne et la dernière ligne :"la déduction n'est pas évidente " en passant de "mais " à "donc". Il manquait de préciser et d'écrire que

x¹² ≡ x¹² [26] ( par la propriété de la réflexivité )

x¹³  ≡ x [26] ( pas de problème donnée et fait)

x²⁵ = x¹³ * x¹²  ≡ x *x¹² ≡ x¹³ ≡x [26] (propriété algébrique congruence modulaire) soit y⁵ ≡ x [26] . Merci à tous

Réponse : Ex arithmétique de bossken1, postée le 10-05-2018 à 22:00:55 (S | E)
ahhh c'est une brillant idée.
merci pour vous je vous ai dérangé.

Réponse : Ex arithmétique de wab51, postée le 11-05-2018 à 01:10:09 (S | E)
Bonsoir bosskem1
Vous nous avez pas dérangé ,et pas du tout .Notre plaisir est de vous voir bien compris et bien satisfait.Soyez toujours le bienvenu au forum .
Merci à tous .

[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]

Cours gratuits > Forum > Forum maths