Arithmétique
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de hicham15 posté le 08-04-2018 à 13:25:03 (S | E | F)
Bonjour
J'espére que quelqu'un poura m'aider à un exercice en arithmétique.
Trouver le reste, d, de la division de 29^48 par 11. (que peut on observer d'abord afin de le résoudre)
Merci d'avance
Bonne journée
Réponse : Arithmétique de wab51, postée le 08-04-2018 à 15:05:57 (S | E)
Bonjour
Vous demandez de l'aide et pour que quelqu'un puisse voir comment vous aider ,aidez -le en montrant au moins ce que vous pouviez savoir faire ,en posant des questions sur ce qui vous bloque ou pas clair ...Un petit effort de votre part ouvrira donc le dialogue et vous permettra de bien mener à conduire et à bien comprendre .N'hésitez donc pas à prendre ce petit engagement ,nous vous accompagnerons .Bon courage et bonne continuation .
Réponse : Arithmétique de puente17, postée le 08-04-2018 à 15:55:23 (S | E)
Bonjou
Vous pourriez peut-être jeter un œil aux premières puissances de 29 modulo 11, en n'oubliant pas de simplifier le plus rapidement possible (ça peut se faire 'à la main'et même de tête si on veut bien essayer).
Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 08-04-2018 à 17:52:14 (S | E)
bonjour
merci pour vos réponses. voici ce que je propose :
29^48 = 29^45 * 29^3.
29^5 ≡-1 [11] alors 29^45 ≡ (-1)^9 [11] et enfin 29^45 ≡ -1 [11].
et on a 29^3 ≡ 2 [11].
on peut en déduire que 29^48 ≡ 2*(-1) [11].
alors 29^48 ≡ -2 [11].
et puisque -2≡ 9 [11] on peut dire que le reste de 29^48 par 11 est 9.
est ce vrai ?
bonne journée
Réponse : Arithmétique de wab51, postée le 08-04-2018 à 22:27:49 (S | E)
Bonsoir
Je vous remercie et vous félicite pour votre encourageante initiative en présentant d'abord votre propre travail
Pour ma part ,je trouve d'abord que vous vous débrouillez bien avec l'arithmétique modulaire .Vos calculs sont exacts et votre réponse est juste .
Toutefois ,il me semble important de vous signaler que vous aviez oublié de répondre à une question clé de l'exercice :"que peut-on observer afin de le résoudre ?" .Il faut la lire comme une sorte d'indication qui fait partie de l'énoncé et elle est importante .
A mon avis ,si on sut répondre à cette question ,le support de la méthode découlera de lui-même .
Que peut-on donc observer afin de le résoudre ?
On voit d'abord que la division euclidienne de 29 par 11 a pour reste 7 et par conséquent ,on prendra ce reste 7 comme représentant (au lieu de 29 comme vous l'aviez fait).On commencer par écrire :29 ≡ 7 [11] et 29^48 ≡ 7^48 [11] , d'une part et d'autre part que 7 et 11 étant premiers entre eux ,il en résulte qu'il existe un entier k tel que 7^k ≡ 1 [11] .
Voilà et loin de vous faire changer de méthode mais simplement de se mettre en diapason et en cohérence avec les véritables consignes de l'exercice.
J'en suis convaincu que vous n'alliez pas buter ,pour reprendre le travail avec ses nouvelles orientations .Bon courage et merci à vous .
Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 08-04-2018 à 23:15:53 (S | E)
Bonjour
je vous remercie beaucoup pour votre favorable réponse.
et merci pour la méthode que vous avez proposé.
à la prochaine
Bonne journée
Hicham
Réponse : Arithmétique de wab51, postée le 09-04-2018 à 00:39:10 (S | E)
Peut-etre que vous aviez mal lu .Je ne vous ai pas fait proposition d'une nouvelle méthode .Je vous ai fait remarquer que votre processus de calcul qui vous a permis d'aboutir au résultat exact n'a pas tenu compte d'une indication importante dans l'énoncé .Autrement dit et en conformité avec la logique et la rigueur mathématiques ,toutes les hypothèses et les consignes d'un énoncé doivent etre exploitées .*On doit passer par un calcul des puissances successives de 7 (et non de 29) jusqu'à arriver à obtenir 7^10≡1[11] d'où déduire la valeur de l'entier k=10 que nous cherchions .Puis ,on doit effectuer la division euclidienne de 48 par 10 soit 48=4*10+8 .et enfin ,et c'est à partir de ce résultat qu'on doit déduire que :29^48≡7^48≡7^(4*10+8)≡(7^10)^4*7^8≡1^4*7^8≡1*9≡9[11],donc et comme 9<11 ,le reste de la division de 29^48 par 11 est 9 encore une fois .Bonne nuit
Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 09-04-2018 à 00:47:01 (S | E)
BONJOUR
merci et désolé. oui, t'as rasion, il faut respecter l'énoncé.
merci pour votre temps. et à la prochaine.
bonne nuit
Hicham
Réponse : Arithmétique de wab51, postée le 09-04-2018 à 12:16:13 (S | E)
Bonjour
C'est bien gentil ,Hicham. Merci ,tout en vous souhaitant de très bon succès et d'excellentes réussites .
Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 09-04-2018 à 12:43:12 (S | E)
Bonjour
Merci,
bonne chance à vous aussi.
bonne journée
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