Problème d'optimisation
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Message de laurence433 posté le 16-03-2018 à 16:18:20 (S | E | F)
Énoncé:
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant : Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle de fond, h la hauteur et S l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
Questions :
1.a Démontrez que h=v/Pix²
b Démontrez que S(x)= Pix² + 2v/x
2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe Pix² + 2v/x
b Concluez en montrant que h =x.
Je suis en 1ereS. J'ai réussi à résoudre la première question mais malgré mon acharnement, je n'arrive pas à résoudre la suite de l'exercice.
Je vous remercie pour votre aide.
Message de laurence433 posté le 16-03-2018 à 16:18:20 (S | E | F)
Énoncé:
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant : Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle de fond, h la hauteur et S l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
Questions :
1.a Démontrez que h=v/Pix²
b Démontrez que S(x)= Pix² + 2v/x
2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe Pix² + 2v/x
b Concluez en montrant que h =x.
Je suis en 1ereS. J'ai réussi à résoudre la première question mais malgré mon acharnement, je n'arrive pas à résoudre la suite de l'exercice.
Je vous remercie pour votre aide.
Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 16-03-2018 à 21:33:46 (S | E)
Bonjour
Vous aviez poster votre exercice sans commencer par formuler une forme de politesse "bonjour-bonsoir ..."telle l'exige la charte de ce site .
1-a)A partir de la formule "volume d'un cylindre de rayon x et de hauteur h : V=... , d'où h=? en fonction de V et de x .
1-b)Calcul de l'aire totale S :
a) l'aire de fond du cylindre est l'aire d'un disque de rayon x .Appliquer la formule de l'aire d'un disque?
b) l'aire latérale du cylindre correspond à l'aire d'un rectangle dont la 1ère dimension est le périmètre d'un cercle de rayon x (appliquer la formule du périmètre d'un cercle?) et la 2ème dimension est la hauteur h du cylindre .
Donc S=aire de fond +aire latérale
2-a) Variation de la fonction f : f(x)=∏x²+2V/x
a)Avec V constant , calculer la dérivée f' de f? Etudier le signe de la dérivée f'? Dresser le tableau de variation ?
En déduire que f admet un minimum atteint pour x=(V/∏)^1/3 (racine cubique de V/∏) .
2-b) Montrer que h=x ?
Cette question ne devrait pas vous poser de difficulté ,elle se déduit du résultat de 2-a).
Envoyer vos résultats .Bonne continuation
Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 16-03-2018 à 22:40:28 (S | E)
Réponse : Problème d'optimisation de laurence433, postée le 17-03-2018 à 07:29:39 (S | E)
Bonjour,
Votre réponse m'a était d'une grande aide. J'ai réussi à faire les 2 premières question ainsi que le début de la 3eme question. Mais arrivé au moment de dérivée (2v)/x, je n'y arrive pas. Ayant deux variable, comment vais-je dérivée cela ?
Merci pour votre aide.
Réponse : Problème d'optimisation de puente17, postée le 17-03-2018 à 08:49:45 (S | E)
Bonjour,
lisez la question, "avec v constant", ce n'est donc pas une variable
.Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 17-03-2018 à 08:58:17 (S | E)
Bonjour à tous
Merci puente .
2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe Pix² + 2v/x
Telle définie ,la fonction f est à une seule variable x avec V constant : f(x)=∏*x²+2V/x .
(se référer à l'énoncé et à mon rappel dans mon 1er message ).Bonne continuation
Réponse : Problème d'optimisation de laurence433, postée le 17-03-2018 à 15:36:26 (S | E)
Bonjour.
Effectivement j'avais oublier se détails. Donc la dérivée est 2v*(-1)/x^2
Merci beaucoup.
Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 17-03-2018 à 15:52:58 (S | E)
2v*(-1)/x^2 =-2V/x² est la dérivée de 2V/x .Vous aviez oublié de dérivée ∏x² car f(x)=∏x²+2V/x est la somme de deux fonctions ∏x² et 2V/x .
Donc calculer la dérivée de ∏x² puis faire la somme des deux dérivées pour trouver la dérivée f'(x) de f(x) ? N'oubliez pas de donner f'(x) sous la forme d'une fraction rationnelle (numérateur sur dénominateur) en réduisant au même dénominateur .Bonne continuation
Réponse : Problème d'optimisation de laurence433, postée le 18-03-2018 à 07:18:40 (S | E)
Bonjour.
Merci beaucoup vous m'avez était d'une grande aide.
Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 18-03-2018 à 13:30:28 (S | E)
.Il n y a pas de quoi .Notre plaisir est de vous voir bien satisfaite et que vous ayez bien compris . Autres résultats complémentaires (à titre indicatif):
*1)La fonction f dont on demande l'étude de variations représente l'aire totale de la casserole S(x)en fonction de x =rayon du fond du disque pour un volume donné V .
*2)Le minimum de l'aire S(x) est atteint pour x=(V/∏)^(1/3) soit encore pour x^3=V/∏ .Sachant que V=∏*x²*h ,il suffit de remplacer l'expression de V dans celle de x^3 pour aboutir à une équation et par simple factorisation déduire que x=h .
*3)Pour vérifier vos calculs ,vous pouviez comparer vos résultats à ceux résumés au tableau de variation ci dessous .
*4)Pour votre curiosité pour d'amples connaissances ,j'ai pensé traité un exemple numérique (voir figure ci dessous) .
Réponse : Problème d'optimisation de wab51, postée le 18-03-2018 à 13:32:04 (S | E)
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