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Fonction logarithme népérien (ln) - cours

Propriétés:

• La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+ ∞ [. De plus elle est strictement positive sur ]1;+ ∞ [ et

  strictement négative sur ]0;1[.

• ln 1=0    et   ln e = 1

• lim ln x = + ∞

x→ +∞

lim ln x = − ∞

x→ 0

x>0

lim lnx ⁄x = 0

x→ + ∞

• Si a>0 et b>0 : ln (ab)= lna + lnb

ln 1⁄a = − lna

ln a⁄b = lna − lnb

• ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa fonction dérivée est x -->1⁄x

et si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction (ln u) est dérivable sur I et : (ln u)'= u'⁄u

Exemple avec méthode :

• Résoudre une équation

Résoudre dans R : −2ln2 + ln ( −1 + x) = 0

• ensemble de définition

cette équation est définie pour -1 + x › 0

c'est-à-dire x › 1

Donc le domaine de définition est : ] 1; +∞ [

• recherche de solutions

−2ln2 + ln ( x − 1 ) = 0

ssi     ln ( x − 1 )= 2 ln2

ssi     ln (x − 1 ) = ln (2²)

(équation de la forme lna = lnb, avec a>0 et b> 0 : équivaut à a=b)

ssi   x−1 = 4

ssi    x= 5

La solution est 5 et appartient bien à l'ensemble de définition.

Répondre aux questions en choisissant la bonne réponse.

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L' ensemble de définition de l'expression : 2ln 4 + ln (- 2 + x) est : ]2;plus infini []moins infini ; -2 ][2; plus infini [Je ne sais pas

4x + 12 ln x a pour limite quand x tend vers 0 : 0moins infiniplus infiniJe ne sais pas

10x - 5 ln x a pour limite quand x tend vers 0 :moins infini0plus infiniJe ne sais pas

Quelle est la dérivée de x --> 8x + 16 ln(x) -2 ? 8 + 16/x16/x8 + 1/16xJe ne sais pas

12 - 6ln (5 - x) est définie sur : ]moins infini; 5[]-5; plus infini[]5; plus infini [Je ne sais pas

Si ln (2x +3) = ln 17, la solution est : 10pas de solution7Je ne sais pas

Limite de 8 ln x quand x tend vers plus l'infini ? 0moins l'infiniplus l'infiniJe ne sais pas

Limite de : -x + ln (2x+ 6) quand x tend vers -3 moins l'infiniplus l'infini0Je ne sais pas

Quel est le domaine de définition de ln (x - 3) ? [3;plus infini[]3; plus infini[]-3 ; plus infini[Je ne sais pas

Résoudre : ln (-3 - 5x) = ln 27 => x = -6ln 27/3624/5Je ne sais pas