Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48931 : Fonction logarithme népérien - cours

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Fonction logarithme népérien - cours

La fonction logarithme népérien a d'abord été fabriquée pour simplifier les calculs fastidieux des ingénieurs et des physiciens avant l'invention des calculatrices et ordinateurs (voir le test n°48843)

La fonction logarithme népérien est aujourd'hui définie, - soit comme fonction réciproque de la fonction exponentielle (comme en TS), - soit comme primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1 (comme en TES)

1° La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de la fonction inverse, $x \rightarrow \frac 1 x$ , sur l'intervalle ]0; +∞[, qui s'annule en 1

conséquences : ln 1=0 ET ln est définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[; la dérivée de ln est la fonction inverse $x \rightarrow \frac 1 x$

2° Variations et courbe

La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[ car sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle
La tangente au point de coordonnées (1, 0) a pour coefficient directeur ln'(1)=1; son équation réduite est y=x-1
L'équation ln x=1 admet une solution unique dans ℝ cette solution est un irrationnel que l'on note e
tracé de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et de la tangente au point de coordonnées (0; 1)

3° la fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle

pour tout x dans ℝ, $\ln (e^x)=x$

pour tout x>0, $e^{ \ln x}=x$

4° propriétés algébriques: Pour tous X>0, Y>0 et y réel, on a

$\ln (X)+ \ln (Y)= \ln (XY)$ et $\ln (X)- \ln (Y)= \ln (\frac X Y)$

$- \ln (Y)= \ln (\frac 1 Y)$ et $\ln (\sqrt X)= \frac 1 2 \times \ln (X)$ et $\ln (X^y)= y \times \ln (X)$

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1° L'équation $\ln (x)=-1$ admet pour unique solution

2° La fonction f définie par $f(x)= \ln (x^{2})$ a pour ensemble de définition

3° L'ensemble des solutions de l'équation $\ln(x^{2})=2$ est

4° On considère la fonction f définie par $f(x)= 2 \ln(x) -3x+2$
a) La fonction dérivée de f est définie par f '(x)=

b) La tangente au point d'abscisse a=1 de la courbe de f a pour coefficient directeur

5° a) $exp {\ln x}=x$ pour tout x appartenant à
b) $\ln (exp x)=x$ pour tout x appartenant à

6° Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que l'inéquation $\ln (2x+1) > \ln (x+3)$ admet l'intervalle ]2; + ∞ [ comme ensemble solution ?

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