Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°61152 : Fonction et ensemble de définition

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Fonction et ensemble de définition

Bonjour
Une fonction x → f(x) est donnée

L'ensemble de définition de f contient toutes les valeurs de x qui ont une image par f

donc, x appartient à l'ensemble de définition si f(x) existe; réciproquement, f(x) existe si x appartient à l'ensemble de définition

méthode:

Pour chercher l'ensemble de définition de f, on cherche les valeurs de x telles que f(x) existe

Pour cela, on cherche à résoudre:

_ les équations obtenues en écrivant que les dénominateurs sont différents de 0, puisque 0 n'a pas d'inverse

_ les inéquations obtenues en écrivant que les quantités sous les racines carrées sont positives, puisque √a est défini seulement lorsque a≥0

_ les inéquations obtenues en écrivant que les quantités à 'l'intérieur' des logarithmes sont strictement positives, puisque ln(a) est défini seulement lorsque a>0

Exemples:

1) $f(x)=x^{3}-5x^{2}+6$

Dans l'expression f(x), il n'y a pas de dénominateurs, ni de racines carrées, ni de logarithmes

donc f peut être définie sur $\mathbb R$

2) $f(x)=\frac{x^{2}-x^{2}-1}{6}$

Dans l'expression f(x), le dénominateur ne s'annule pas

donc f peut être définie sur $\mathbb R$

3) $f(x)=\frac{x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}-1}$

L'expression du dénominateur x²-1=(x-1)(x+1) s'annule pour x=-1 ou x=1

donc f peut être définie sur ${\mathbb R}$ -{-1; 1}

4) $f(x)=\sqrt{x^{2}-x}$

L'expression sous la racine carrée est positive ou nulle pour $x\in]-\infty;0]\cup[1; +\infty[$

donc f peut être définie sur $]-\infty;0]\cup[1;+\infty[$

5) $f(x)=\ln({x^{2}-x})$

L'expression 'à l'intérieur du logarithme' est positive et non nulle pour $x\in]-\infty;0[\cup]1;+\infty[$

donc f peut être définie sur $]-\infty;0[\cup]1;+\infty[$

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La fonction f, définie par $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\frac{x+1}{sqrt 2 +1}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\sqrt{x-1}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\frac{5}{2x+14}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\frac{x+7}{7x}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=x^{2}-100$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\frac{x+1}{10}$ , a pour ensemble de définition

La fonction f, définie par $f(x)=\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-9}$ , a pour ensemble de définition

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