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Factoriser à coup sûr ! (Lorsque c'est possible...) - cours
La méthode que je vous propose est une méthode pratique qui repose sur deux identités remarquables :
Soient a et b deux réels :
Relation 1 : (a+ b)² = a² + 2ab + b²
De même que : (a - b)² = a² - 2ab + b²
(Pour retrouver ces résultats il suffit de développer : (a + b)² = (a + b) * (a +b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (car ab=ba; la multiplication est commutative, peu importe que vous commenciez à multiplier l'un par l'autre le résultat sera le même)
Relation 2 : (a + b)(a - b) = a²- b²
Cette méthode ne fonctionnera évidemment que lorsque la factorisation est possible! Oui, je ne suis ni un génie mathématique, ni un magicien...
On se limite ici aux nombres réels.
Prenons un exemple : x² + 6x - 7
A priori, factorisable ou pas ? 
Voici comment procéder :
Je remarque que le début de mon expression 'x² + 6x' est le début de (x + 3)²
En effet d'après la relation 1 : (x + 3)² = x² + 6x +9
donc, j'en déduis : x² + 6x = (x + 3)² -9
Je remplace dans mon expression, j'obtiens donc : x² + 6x - 7 = (x + 3)² - 9 - 7 = (x + 3)² - 16
J'utilise maintenant la relation 2: j'ai bien ici la différence de deux carrés car 16 = (√16)² = 4²: (x + 3)² - 4²
Donc la relation 2 me donne : (x + 3)² - 4² = (x + 3 + 4)(x + 3 - 4)= (x + 7)(x - 1)
a² - b² =(a + b) (a - b)
D'où x² + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1)
Remarques :
Pour ceux qui connaissent, cela revient au même que de trouver les racines du polynôme, à la différence près que vous n'avez rien à apprendre par cœur ici, donc pas de formule à retrouver de mémoire...
Si l'on obtient la somme de deux carrés à la fin, on ne pourra pas utiliser la relation 2, donc on ne pourra pas factoriser.
Autres exemples :
1/ x²+ 2x +8
x² + 2x est le début de (x + 1)²
Car (x + 1)² = x²+ 2x + 1
Donc x² + 2x = (x + 1)² - 1
x² + 2x + 8= (x + 1)² - 1 + 8= (x + 1)² + 7
Non factorisable car j'obtiens la somme de deux termes donc je ne peux pas utiliser ma relation 2.
2/ x² + 4x + 3
x² + 4x est le début de (x + 2)²
Car (x + 2)² = x² + 4x + 4
Donc x² + 4x = (x + 2)² - 4
Notre expression devient donc : x² + 4x + 3 = (x + 2)² - 4 + 3 = (x + 2)² -1
On a bien une différence de deux termes carrés (car 1 = 1² !), on utilise la relation 2:
(x + 2)² - 1 = (x + 2 + 1) (x + 2 - 1) = (x + 3) (x + 1)
D'où x² + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1)
3/ x² - 2x - 15
x² - 2x est le début de (x - 1)²
Car (x - 1)² = x² - 2x + 1
Donc x² - 2x = (x - 1)² - 1
Notre expression devient donc : x² - 2x - 15 = (x - 1)² - 1 - 15 = (x - 1)² - 16
On a bien une différence de deux termes carrés (car 16 = 4² ), on utilise la relation 2:
(x - 1)² - 16 = (x - 1)² - 4² = (x - 1 + 4) (x - 1 - 4) = (x + 3) (x - 5)
D'où x² - 2x - 15 = (x + 3) (x - 5)
4/ Petite difficulté s'il y a un coefficient devant le terme en x²:
4x² + 4x - 3
4x² + 4x est le début de (2x + 1)²
Car (2x + 1)² = 4x² + 4x +1
Donc 4x² + 4x = (2x + 1)² - 1
Notre expression devient donc : 4x² + 4x - 3= (2x + 1)² - 1 - 3= (2x + 1)² - 4
On a bien une différence de deux termes carrés (4 = 2²), on utilise la relation 2 :
(2x + 1)² - 4 = (2x + 1)² - 2² = (2x + 1 + 2) (2x + 1 - 2) = (2x + 3) (2x - 1)
D'où 4x² + 4x - 3 = (2x + 3) (2x - 1)
Si vous avez compris, essayez de compléter l'exercice ci-dessous !
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