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Factorisation (directe et avec les identités remarquables) - cours

Factoriser une expression algébrique consiste à mettre cette expression sous forme d'un produit de facteurs.

Pour ainsi faire, on cherche un facteur commun des termes de l'expression et on factorise.

Exemple : A= 4a²b +2ab + ab²

Le facteur commun qui se répète dans les trois termes de l'expression A est : ab

Donc on factorise par ab.

A= 4a²b + 2ab + ab²

A= abx4a+ 2xab+ abxb

A= ab(4a+2+ b)

A= ab(2(2a+1)+ b) // on peut l'écrire aussi sous cette forme en factorisant par 2 les deux termes 4a et 2 //

On peut aussi se servir des identités remarquables :

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

a² - b² = (a + b)(a - b)

Dans le cas où des expressions peuvent être similaires à une identité remarquable sous sa forme développée, on doit donc penser à profiter de cette identité.

Soit de manière explicite (le cas le plus simple) :

B= 4a² + 12a + 9

B= (2a)² + 2x2ax3 + 3²

B= (2a+3)²

Soit de manière implicite (le cas où on doit intervenir pour faire montrer l'identité) :

C= 4a² + 12a + 8

C= (2a)² + 2x2ax3 + 3² -1 //8=3² -1//

C= (2a+3)² -1 //a² + 2ab + b² = (a + b)²//

C= (2a+3)² -1²

C= (2a+3+1) (2a+3-1) //a² - b² = (a + b)(a - b)//

C= (2a+4) (2a+2)

C=2(a+2) x2(a+1)

C=4(a+1) (a+2)

Autre exemple :

D= a² + 3a + 2

D= a² + 2x(1/2)x3a + 2 //Dans le terme 3a, on multiplie par 2x(1/2) pour faire montrer la similitude avec 2ab de l'identité a² + 2ab + b² = (a + b)²//

D= a² + 2x(3/2)xa +(3/2)² -(3/2)² +2 //On ajoute (3/2)² pour faire montrer le dernier terme de l'identité b² et -(3/2)² pour neutraliser cet ajout//

D= (a+3/2)² -9/4+ 2

D= (a+3/2)² -9/4+ 8/4

D= (a+3/2)² -1/4

D= (a+3/2)² -(1/2)² //a² - b² = (a + b)(a - b)//

D= (a+3/2+1/2) (a+3/2-1/2)

D= (a+4/2) (a+2/2)

D= (a+2) (a+1)

NB : une autre méthode est possible, c'est l'utilisation de l'équation de second degré qui consiste à trouver les solutions de D=0 et puis on déduit la factorisation de D. Mais le présent exercice se limite par la factorisation simple et l'utilisation des identités remarquables.

Dans l'exercice ci-dessous, choisissez la bonne réponse du menu déroulant afin de constituer la factorisation de chaque expression algébrique.

BONNE CHANCE !!!

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1. E1=2a+3ab+5a

2. E2=8a+10b+6c

3. E3=a³-a

4. E4=(a+1)(12a+24)+(a+1)(3a-9)

5. E5=a(3a+2)-a(2a+1)

6. E6=5x²(a-b)- 5y²(a-b)

7. E7=(a+7)²+ a²- 49

8. E8=ab+bc+cd+ad

9. E9=a³+a²+a+1

10. E10=2a³+3a²+a

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