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Factorisation d'une expression algébrique

Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit de 2 ou plusieurs facteurs.

Comment factoriser une expression ?

1) Il y a un facteur commun :
Deux exemples :

Exemple 1 :

Factorisons A = (x+3) (4x + 1) + 4(x +3)

C'est la somme de deux termes (x+3)(4x+1) et 4(x+3); chacun  de ces termes est un produit de facteurs.

(x +3) est un facteur commun.

A= (x+3) (4x +1) + 4(x+3).

A= (x + 3) (4x + 1 +4).

On réduit le 2e facteur.

On obtient A= ( x+3)(4x +5)


Exemple 2 :
Factorisons B= (x+5) (3x +2) – (x+5)( x-1)
C'est la différence de deux termes (x+5)(3x+2) et (x+5)(x-1); chacun  de ces termes est un produit de facteurs.

(x+5) est le facteur commun.

B= (x +5) (3x +2) – (x+5) (x-1)

B= (x+5)( (3x +2) – (x-1))

On réduit le 2e terme.

Attention au signe – devant (x-1) : il signifie que l'on doit prendre l'opposé de x-1, soit -x+1 (En enlevant les parenthèses, on change les signes).

B= (x+5)( 3x +2 -x+1)

B= (x+5)( 2x +3)


2) Dans certains cas particuliers, on utilise les identités remarquables :

a² + 2ab + b² = (a +b)² , a² -2ab +b² = (a -b)² ,a² - b² =(a + b)(a -b)


Exemples :

Factorisons : 4x² – 25 , 4x² + 20x + 25 et 4x² – 20x + 25


4x² -25 =(2x)² – 5² = (2x – 5)(2x +5) , 4x² +20x +25 = (2x +5)², 4x²-20x +25= (2x-5)²

Factorisons C= (x+2)² - (2x+3)²

C'est une différence de 2 carrés.

C= ( (x+2) + (2x+3))((x+2) -(2x +3))

On réduit chaque facteur (attention aux signes dans le 2e facteur).

C = (x+2+2x+3)( x+2 - 2x -3)

C= (3x +5)(-x-1) que l'on peut encore écrire C = -(3x+5)(x+1).

Je vous propose de factoriser les expressions données dans le test.

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x² + 4x +4=

x² - 25 =

9x² - 36 = 9(x+2)

x² - 12x + 36=

-3 (x +2) + 5x(x+2) =

(x+5) ² + 4(x +5)=

25 - (x+3)² = (-x+2)

(x +3)(3x +1) + (x+3)(x -4)=

(x +3)(3x +1) - (x+3) (x-4) =

(x+4)² - (3x -1)²= (-2x +5)