Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°74327 : Fonction carrée et variations - cours

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Fonction carrée et variations - cours

Définition d'une fonction strictement décroissante sur un intervalle

Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans l'ordre inverse de a et b, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle considéré.

Définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle

Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans le même ordre que a et b, on dit que la fonction est croissante sur l'intervalle considéré.

Étude de la fonction carrée

La fonction carrée est définie sur l'ensemble des réels; on considère donc deux nombres a et b et on calcule la différence entre les carrés.

${a^{2}}\quad -\quad {b^{2}}=\quad{(a-b)(a+b)}$

lorsque $\green \Large a \quad > \quad b \quad \ge \quad 0$ , la somme (a+b) est strictement positive et alors a-b et a²-b² ont le même signe. Donc $\green \LARGE{a^{2}}\quad > \quad {b^{2}}$ , c'est-à-dire les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que a et b
lorsque $\blue \Large a \quad < \quad b \quad \le \quad 0$ , la somme (a+b) est strictement négative et alors a-b et a²-b² ont des signes contraires. Donc $\blue \LARGE {a^{2}}\quad >\quad {b^{2}}$ , c'est-à-dire les carrés de deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse

conclusion : la fonction carrée est strictement croissante sur [0; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞;0]

On peut vérifier sur la courbe que les carrés de a et b positifs sont rangés dans le même ordre

On peut vérifier sur la courbe que deux nombres négatifs a et b ont des carrés rangés dans l'ordre inverse

Application: encadrement de carrés
exemple : 2 et 3 sont positifs et rangés dans l'ordre: 2 < 3
les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre
Donc on peut encadrer x² pour x compris entre 2 et 3: $si \quad x \in [2; 3],\quad alors\quad x^{2} \in [4; 9]$

autre exemple : -2 et -3 sont négatifs et rangés dans l'ordre: -3 < -2
les carrés de deux nombres négatifs sont dans l'ordre inverse et
Donc on peut encadrer x² pour x compris entre -3 et -2: $si \quad x \in [-3; -2],\quad alors\quad x^{2} \in [4; 9]$

A retenir :les carrés de nombres positifs et de même signe sont rangés dans le même ordre et les carrés de nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse

Attention aux cas où les nombres n'ont pas le même signe:
-2 < 5; l'un est négatif l'autre positif.
pour encadrer x² pour x compris entre -2 et 5, il faut penser à séparer les cas où x est positif et où x est négatif:

$si \quad x \in [-2; 5],\quad x \in [-2; 0] \quad ou \quad x \in [0; 5],\\ alors\quad x^{2} \in [0; 4]\quad ou \quad bien \quad x^{2} \in [0; 25], \\ alors \quad x^{2} \in [0; 25]$

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1°) 5 et 0.5 sont et rangés dans l'ordre: 5 0.5
Les carrés de nombres positifs sont rangés dans
donc si 0.5 < x < 5, alors < x² <

2°) a et b désignent ici des nombres non nuls:
si b < 0 et si a < b, alors on ordonner les carrés et a² b²
si 0 < b et si a > b, alors on ordonner leurs carrés et a² b²
si 0 < b et si a < b, alors on ordonner leurs carrés et a² b²

3°) La fonction carrée décroissante sur ]-∞; 0[∪]0; +∞[
La fonction carrée croissante sur ]-0.0002; 2[
La fonction carrée croissante sur ]10^-3; 10³[

4° a) si ${-1 \over 2} <x < {3 \over 2}$ , alors < x² <
b) si ${ \sqrt 2} <x < {2^{2}}$ , alors < x² < , où rac(2) désigne la racine carrée positive de 2
c) si -1.1 x -1.2, alors 1.21 x² 1.44

Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Fonction carrée et variations - cours"
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