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Identités remarquables avec le Triangle de Pascal
Je suis un 'fainéant' des mathématiques.
Un professeur agacé par mon manque de sérieux dans l'apprentissage « par cœur » des identités remarquables m'a un jour confié un truc.
Je n'ai pas eu souvent l'opportunité d'utiliser les identités remarquables depuis ces 25 dernières années. Mais en aidant mon fils dernièrement je me suis aperçu que je savais encore « retrouver » quelques identités remarquables.
Tout d'abord un petit énième rappel sur les identités remarquables sur lesquelles je vais concentrer mes efforts.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
et pour ceux qui aiment les cubes...
(a+b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
(a-b)3 = a³ - 3a²b + 3ab² -b³
Tout d'abord, le triangle de Pascal.
Il est facile de créer un triangle de Pascal en additionnant un nombre avec son voisin de droite et en reportant le total sous ledit voisin...
On commence à 1 et on continue.
Oui je sais un exemple sera plus clair : A+B=C
A B
C
ou
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 ........
Le principe est simple : le triangle de Pascal vous donne les facteurs des termes des identités remarquables à partir de la puissance 0.
La première ligne correspond à la puissance 0, la deuxième à la puissance 1...
Exemples :
Pour le carré ou puissance 2 prendre la troisième ligne :
Soit 1,2,1
D'où (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b²
Pour le cube ou puissance 3 prendre la quatrième ligne... et ainsi de suite.
Soit 1,3,3,1
D'où (a+b)3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3
Bon et les exposants dans tout ça ?
Là encore très simple.
La somme des puissances de chaque terme est égale à la puissance de l'identité remarquable cherchée.
On débute avec tout l'exposant sur a et 0 sur b ; puis à chaque terme on diminue l'exposant de a de 1 et on augmente celui de b de 1.
(a+b)x = axb0 + (...)ax-1b1 + (...)ax-2b2 + (...)ax-3b3 + (...)ax-4b4 +....jusqu'à ce que x = 0
Et n'oublions pas que a0 = b0 = 1 (si a et b ne sont pas nuls)
Ainsi :
(a+b)² = a²b0 + 2a1b1 + a0b²
(a+b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3 a1b2 + a0b3
Bon il ne reste plus qu'à traiter les (a-b)x.
Comment gère-t-on les signes - ?
Une règle simple pour (a-b)x il faut mettre un - devant chaque terme ou b est élevé à une puissance impaire.
Ainsi , par exemple :
(a-b)3 = a3b0 - 3a2b1 + 3 a1b2 - a0b3
Ouf tout est dit. Un peu compliqué ?
Essayez donc de former (a-b)6.
Les facteurs : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1 (lus dans le triangle de Pascal : 7ème ligne)
D'où (a-b)6 = 1a6b0 - 6a5b1 + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6a1b5 + 1a0b6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6
Attention dans le test les puissances sont exprimées par a² pour a² ...
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