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Fonction logarithme népérien (ln) - cours
Propriétés:
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+ ∞ [. De plus elle est strictement positive sur ]1;+ ∞ [ et
strictement négative sur ]0;1[.
ln 1=0 et ln e = 1
lim ln x = + ∞
x→ +∞
lim ln x = − ∞
x→ 0
x>0
lim lnx ⁄x = 0
x→ + ∞
Si a>0 et b>0 : ln (ab)= lna + lnb
ln 1⁄a = − lna
ln a⁄b = lna − lnb
ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa fonction dérivée est x -->1⁄x
et si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction (ln u) est dérivable sur I et : (ln u)'= u'⁄u
Exemple avec méthode :
Résoudre une équation
Résoudre dans R : −2ln2 + ln ( −1 + x) = 0
ensemble de définition
cette équation est définie pour -1 + x › 0
c'est-à-dire x › 1
Donc le domaine de définition est : ] 1; +∞ [
recherche de solutions
−2ln2 + ln ( x − 1 ) = 0
ssi ln ( x − 1 )= 2 ln2
ssi ln (x − 1 ) = ln (2²)
(équation de la forme lna = lnb, avec a>0 et b> 0 : équivaut à a=b)
ssi x−1 = 4
ssi x= 5
La solution est 5 et appartient bien à l'ensemble de définition.
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