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Raisonnement par l'absurde : Principe et Applications - cours
Le raisonnement ou la démonstration par l'absurde est une technique logique utilisée pour prouver une proposition en supposant temporairement le contraire et en montrant que cette supposition mène à une contradiction ou à une conclusion absurde.
C'est une méthode couramment utilisée en mathématiques et en philosophie pour prouver des énoncés négatifs ou pour démontrer l'existence ou la non-existence de certaines entités.
Voici les étapes générales pour effectuer une démonstration par l'absurde :
1.Supposition du contraire : Pour commencer, supposons que la proposition que nous voulons prouver est fausse.
2.Déduction logique : À partir de cette supposition, nous déduisons logiquement des conséquences ou des assertions.
3.Identification d'une contradiction : En poursuivant les déductions, nous cherchons à identifier une contradiction ou une incohérence dans les conséquences obtenues.
4.Affirmation de la proposition : En se basant sur la démonstration par l'absurde, nous concluons en affirmant que la proposition est vraie.
| Conclusion absurde : |
| Si nous parvenons à une contradiction, cela signifie que notre supposition initiale est fausse, et donc que la proposition que nous cherchons à prouver est vraie. |
La démonstration par l'absurde est largement utilisée en mathématiques pour prouver des théorèmes, démontrer des égalités ou des inégalités, et résoudre des problèmes complexes. Elle permet de simplifier et de clarifier les arguments logiques.
En résumé, la démonstration par l'absurde est une technique logique où l'on suppose temporairement le contraire d'une proposition, puis on déduit des conséquences jusqu'à l'obtention d'une contradiction.
Cela permet de prouver indirectement la vérité de la proposition initiale.
Applications
Exemple 1 : Démontrons par absurde cette proposition : "Il n'existe pas de plus grand nombre réel."
Réponse :
Supposons par l'absurde qu'il existe un plus grand nombre réel, que nous appellerons M.
Maintenant, considérons le nombre M + 1. Puisque M est supposé être le plus grand nombre réel, il doit être supérieur à M + 1. (M>M+1)
Cependant, M + 1 est un nombre réel plus grand que M (On sait que 1>0 donc M+1>M), ce qui contredit notre supposition initiale.
Ainsi, en supposant qu'il existe un plus grand nombre réel, nous aboutissons à une contradiction. Par conséquent, notre supposition initiale est fausse et il n'existe pas de plus grand nombre réel.
Ce simple exemple démontre comment la démonstration par l'absurde peut être utilisée pour prouver des énoncés négatifs.
En supposant temporairement le contraire de la proposition (l'existence d'un plus grand nombre réel), nous parvenons à une contradiction, ce qui nous conduit à conclure que la proposition originale est vraie.
Exemple 2 : Démontrons par absudre cette proposition : "La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel."
Réponse :
Supposons par l'absurde que la racine carrée de 2 est un nombre rationnel. ( )
Cela signifierait qu'elle peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible :
où
et
des entiers premiers entre eux.
Alors on aura
En multipliant les deux côtés de l'équation par , nous obtenons :
Cela signifie que est pair, ce qui implique que
lui-même est pair.
Donc on peut écrire où
est un nombre entier.
En remplaçant dans l'équation précédente, nous obtenons :
Maintenant, nous voyons que est également pair, ce qui implique que
est aussi un nombre pair.
Cependant, nous avons initialement supposé que et
étaient premiers entre eux, ce qui est en contradiction avec le fait que les deux sont pairs.
Par conséquent, notre supposition initiale selon laquelle la racine carrée de 2 est un nombre rationnel doit être fausse.
Nous concluons donc que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel.
Cet exemple illustre comment, en supposant temporairement le contraire de la proposition (que la racine carrée de 2 est un nombre rationnel), nous aboutissons à une contradiction, ce qui prouve que la proposition est vraie.
Ces exercices vous permettront de vous entraîner à appliquer la démonstration par l'absurde dans différents contextes mathématiques.
Essayez de les résoudre en supposant temporairement le contraire de ce que vous voulez prouver et en cherchant une contradiction.
Le travail demandé est d'identifier la contradiction appropriée à chaque question suivant le menu déroulant.
Bonne chance !
⚠️ NOTE : L'exercice a pout but d'illustrer la notion de raisonnement par l'absurde. Pour certaines questions, il y aurait d'autres moyens plus simples qu'un raisonnement par l'absurde.
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