Équations cartésiennes de droites

Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

Soit (D) une droite.

Définition 1

On appelle équation cartésienne de (D), toute écriture de la forme : a'x+b'y+c'=0 (1) 

où a', b' et c' sont des nombres réels.

Si b' est différent de zéro, la relation (1) fournit : y= (-a'/b')x + (-c'/b')      (2).

la relation (2) est l'équation réduite de (D). On peut poser y=ax+b.
Le réel a est le coefficient directeur de (D). Le réel b est l'ordonnée à l'origine.

NB :

Si la droite (D) passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) et si xA est différent de xB,
alors, on peut calculer le coefficient directeur de (D): a=(yB-yA)/(xB-xA).

Définition 2

Soit (D) : ax+by+c=0 [Lire: la droite (D) d'équation cartésienne ax+by+c=0].

-On appelle vecteur directeur de (D), tout vecteur donnant la direction de (D).
Le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de (D).

-On appelle vecteur normal à (D), tout vecteur de direction orthogonale à celle de (D).
Le vecteur de coordonnées (a;b) est un vecteur normal à (D).

PROPRIÉTÉS :

Soient (D1) : y=ax+b  et (D2): y=a'x+b'.

1) Les droites (D1) et (D2) sont parallèles si a=a'.

2) les droites (D1) et (D2) sont perpendiculaires si a × a' = -1

3) Un point A(xA;yA) appartient à (D): ax+by+c=0, si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (D). C'est-à-dire : si axA+byA+c=0. (On peut aussi utiliser l'équation réduite de (D)).

NB :

Pour déterminer le point d'intersection des droites (D1) et (D2), on résout l'équation ax+b=a'x+b' et on détermine x. On déduit de x, la valeur de y.

DÉTERMINATION D'UNE EQUATION CARTÉSIENNE

Soit (D) une droite.

On peut déterminer une équation cartésienne de (D) en connaissant:

1) Deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) appartenant à (D):

On pose (D): y=ax+b. On remplace les coordonnées des points A et B dans cette équation réduite. On obtient yA=axA+b et yB=axB+b. On résout le système d'équations d'inconnue (a;b).

2) Un point A(xA;yA) et un vecteur directeur que nous notons vec(u) de coordonnées (p;q).

On choisit un point M(x;y) appartenant à (D). On utilise le fait que les vecteurs vec(AM)(x-xA;y-yA) et vec(u)(p;q) sont colinéaires pour écrire que: q(x-xA)-p(y-yA)=0. En développant et en réduisant, on obtient l'équation cherchée.

NB. Le 1) peut se ramener au 2) en prenant vec(u)=vec(AB).

ÉNONCÉ

Soit (D1): 2x-y+3=0  

Soit (D2) la droite passant par les points A(4;3) et B(6;2).

Soit le point D(0;5).

CONSIGNES

- Les nombres non entiers s'écriront en utilisant la " virgule ".
Exemples: -0,75    ;   4,6

- Un couple de coordonnées s'écrira (a;b).
Exemples : (-8;12)   ;  (4;5)

- Une équation réduite s'écrira sous la forme : y=ax+b sans espace.
Exemples : y=3x+11  ;   y=-0,4x+7