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Ensembles de nombres (niveau Seconde) - cours

1-Entiers naturels

L'ensemble des entiers naturels (c'est-à-dire positifs) est noté N

N = ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )

L'ensemble N est stable pour l'addition et la multiplication : cela signifie que si j'additionne ou multiplie deux entiers naturels quelconques, le résultat sera encore un entier naturel.

N n'est pas stable pour la soustraction : par exemple 2-3 = -1 n'est pas dans N.

2-Entiers relatifs

L'ensemble des entiers relatifs est noté Z

Z = ( ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )

L'ensemble Z est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.

Tout entier naturel est un entier relatif. Z contient donc N : on dit que N est inclus dans Z.

3-Nombres décimaux

-Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 :

Un nombre est décimal s'il peut s'écrire a/10ⁿ, a appartenant à Z et n à N.

Exemples : 34,8 (= 348/10) ; -0,65 (= -65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux.

L'ensemble des nombres décimaux est noté D.

Tout nombre relatif est un nombre décimal ; donc D contient Z. (Z est inclus dans D)

L'ensemble D est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.
-écriture décimale : La partie décimale compte un nombre fini de chiffres non nuls.

partie entière (237) ---> 237, 459 6 <--- partie décimale (0,459 6)

-écriture scientifique : C'est l'écriture sous forme du produit

• d'un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule
  
• et d'une puissance de 10 (d'exposant entier relatif)

Exemples : 38 = 3,8 x 10 ; 0,0562 = 5,62 x 10^-2 ; - 97631 = - 9,763 1 x 10⁴

4-Nombres rationnels

Ce sont les quotients d'un entier relatif par un entier naturel non nul. (exemples : 3/7 ; -11/39 ; ...)

L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Tout nombre décimal est un nombre rationnel ; Q contient D.

(certains rationnels, pas tous, ont une écriture décimale : par exemple 1/4 = 0,25 est un décimal, mais pas 9/7)

L'ensemble Q est stable pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf par 0)

-développement décimal illimité : La partie décimale d'un nombre rationnel non décimal compte une infinité de chiffres non nuls. Dans cette partie décimale, une même séquence de chiffres se répète indéfiniment :

Exemple : 9/7 = 1, 285714 285714 285714 28...(la division ne s' arrête jamais)

5-Nombres réels

L'ensemble des nombres réels est noté R.
Les réels non rationnels sont appelés irrationnels.
(√2 par exemple est irrationnel : on ne peut pas l'écrire sous forme d'un quotient d'entiers)

Tout nombre rationnel est un nombre réel ; R contient Q.

L'ensemble R est stable pour l'addition, la soustraction, la multiplication, la division sauf par 0.

De plus la racine carrée de tout réel positif est dans R.

-développement décimal illimité : La partie décimale d'un irrationnel compte une infinité de chiffres non nuls. Elle n'est pas formée d'une séquence de chiffres se répétant. (Pi = 3,1415926535......)

-Tout réel est l'abscisse d'un point d'une droite munie d'un repère (origine, unité, sens) et inversement tout point d'une droite graduée a pour abscisse un réel.

Maintenant, trouvez le plus 'petit' ensemble qui convient : N ; Z ; D ; Q ; ou R .(le signe '/' signifie un trait de fraction)

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339/113 appartient à

10³ appartient à

2^-1 appartient à

1/2 + 1/3 + 1/6 appartient à

racine carrée de 12 appartient à

racine carrée de 12/ racine carrée de 75 appartient à

racine carrée de 25/racine carrée de 9 appartient à

2 Pi appartient à

10,4 appartient à

La racine carrée positive de 49 appartient à .