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Égalité

En mathématiques, on rencontre souvent des égalités:

exemples : 1+2+3=1+4+1, 1+1=5, x=2010, x+5=15, (x+1)²=x²+2x+1, etc.

Une égalité, en mathématiques, est une proposition dans laquelle le symbole = est le verbe de la proposition

Une égalité en mathématiques est soit vraie, soit fausse

exemple 1: 1+2+3=1+4+1

Cette proposition est vraie puisque le résultat de 1+2+3 est identique au résultat de 1+4+1

exemple 2: 1+6=3+16

Cette proposition est fausse puisque le résultat de 1+6 est 7 tandis que le résultat de 3+16 est 19

exemple 3: 2x+6=x+16

si on donne à x la valeur 1, alors l'égalité est fausse puisque 2x+6 vaut alors 8 tandis que x+16 vaut 17

si on donne à x la valeur 10, alors l'égalité est vraie puisque 2x+6 vaut alors 26 tandis que x+16 vaut 26

Une telle égalité est appelée équation

Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues, égalité qui peut être vraie ou fausse suivant la valeur donnée à l'inconnue (aux inconnues)

Résoudre une équation consiste à chercher toutes les valeurs que l'on peut donner à l'inconnue (aux inconnues s'il y en a plusieurs) qui rendent l'égalité vraie

exemple 4: (x+2)²=x²+4x+4

si on donne à x la valeur 1, alors l'égalité est vraie: en effet, x+2 vaut 3 et son carré vaut 9 et d'autre part x²+4x+4 vaut 1+4+4 soit 9

si on donne à x la valeur 8, alors l'égalité est vraie: en effet, x+2 vaut 10 et son carré vaut 100 et d'autre part x²+4x+4 vaut 64+32+4 soit 100

on peut donner à x n'importe quelle valeur, on obtient toujours une égalité vraie puisque x²+4x+4 est le développement de (x+2)²; on dit que c'est une identité

Une identité est une égalité vraie pour tout réel x

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L'égalité (x + 1)² = x² + 2x + 1 est vraie pour identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas x; c'est une identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas
L'égalité 54 (x + 2) = 54x + 108 est vraie pour identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas x; c'est une identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas
L'égalité 4x² - 25 = (4x - 5) (4x + 5) est vraie pour identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas x réel; c'est une identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas
L'égalité 3x + 9 = - (3x + 9) est vraie pour identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas x réel; c'est une identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas
L'égalité 4x² - 12x = 4x (x - 3) est vraie pour identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas x réel; c'est une identitétout réelune seule valeur deéquation Je ne sais pas