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Droites particulières d'un triangle - cours
On distingue généralement, 4 types de droites particulières dans un triangle : les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices.
N'importe quel triangle possède : 3 hauteurs, 3 médianes, 3 médiatrices et 3 bissectrices.
La hauteur
Une hauteur d'un triangle est la perpendiculaire abaissée de l'un des sommets sur le côté opposé ou sur son prolongement.
Propriété
Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes. Leur point de rencontre est appelé orthocentre du triangle.
Remarque : Dans un triangle acutangle (trois angles aigus) l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Tandis que dans triangle obtusangle (un angle obtus) l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.
La médiane
Une médiane d'un triangle est la droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Propriété
Dans un triangle les trois médianes sont concourantes. Leur point de rencontre est appelé centre de gravité du triangle.
Il est situé sur chaque médiane aux deux tiers à partir du sommet.
Sur la figure ci-dessus on a :
AG = 2/3 AI ; BG = 2/3 BJ ; CG = 2/3 CK
La médiatrice
Une médiatrice d'un triangle est la perpendiculaire élevée au milieu d'un côté de ce triangle.
NB: Le point de concours est à égale distance des sommets du triangle.
OA = OB = OC
Propriété
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de rencontre est le centre du cercle circonscrit au triangle.
OA = OB = OC = rayons du cercle circonscrit au triangle.
Remarque : Dans un triangle acutangle (trois angles aigus) le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle. Tandis que dans triangle obtusangle (un angle obtus) le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
La Bissectrice
La bissectrice d'un secteur angulaire d'un triangle est la droite qui menée par le sommet partage le secteur angulaire en deux secteurs angulaires égaux.
NB: Le point de concours est à égale distance des côtés du triangle.
OI = OJ = OK
Propriété
Les bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de rencontre est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Remarque : Dans un triangle équilatéral les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices sont confondues.
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