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Diviseurs communs - cours

Un entier naturel est un diviseur commun à deux entiers a et b si et seulement si cet entier est à la fois un diviseur à a et à b.

Exemple :
32 ÷ 8 = 4

56 ÷ 8 = 6

8 est un diviseur commun à 32 et 56

Remarque : 1 est diviseur commun à tous les entiers naturels.

➡️ Ensemble des diviseurs communs à deux entiers naturels :

Soient D(60) l'ensemble des diviseurs de 60 et D(40) l'ensemble des diviseurs de 40.

D(60) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

D(40) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Soit A l'ensemble des diviseurs communs à 60 et 40

A = 1, 2, 4, 5, 10, 20

➡️ Le plus grand commun diviseur (P. G. C. D) :

On appelle plus grand diviseur commun à a et à b, le plus grand diviseur de l'ensemble des diviseurs communs à a et b.

Exemple : 20 est le plus grand diviseur commun à 60 et à 40 suivant l'ensemble A ci-dessus.

Remarque : Reprenons l'ensemble A qui est l'ensemble des diviseurs communs à 60 et à 40

A = 1, 2, 4, 5, 10, 20

On peut constater que 20 est le p.g.c.d et que A est l'ensemble des diviseurs de 20.

En conclusion :
L'ensemble des diviseurs communs à deux entiers naturels est égal à l'ensemble des diviseurs de leur p. g. c. d.

➡️  Recherche du P.G.C.D de deux entiers naturels :

Pour trouver le p. g. c. d. de deux entiers naturels non nuls :

1) On  décompose ces nombres en leurs facteurs premiers

2) On fait le produit des facteurs communs, chacun d'eux étant pris avec son plus faible exposant.

Exemple : Chercher le p. g. c. d.  de 72 et de 216.

1) On  décompose ces nombres en leurs facteurs premiers :

360 ÷ 2 = 180

180 ÷ 2 = 90

90 ÷ 2 = 45

45 ÷ 3 = 15

15 ÷ 3 = 5

5 ÷ 5 = 1

360  = 2³ × 3² × 5

756 ÷ 2 = 378

378 ÷ 2 = 189

189 ÷ 3 = 63

63 ÷ 3 = 21

21 ÷ 3 = 7

7 ÷ 7 = 1

756  = 2² × 3³ × 7

2) On fait le produit des facteurs communs, chacun d'eux étant pris avec son plus faible exposant.

Le p. g. c. d.  de 360 et 756 est : 2² × 3²  = 4 × 9  = 36

➡️ Nombres premiers entre eux :

Deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement si leur P. G. C. D. est 1.

Exemple : 8 et 13

Remarques :

1- Des nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement premiers.

Exemple : 20 et 21 ne sont pas des nombres premiers, mais ils ont seulement 1 comme diviseur commun, donc ils sont premiers entre eux.

2- Tous les nombres premiers sont premiers entre eux.

Exercice :

Faites le bon choix.

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1. Les diviseurs communs de 49, 14 et 21 sont : 1, 71, 2, 3, 77Je ne sais pas

2. Le p.g.c.d. de 49, 14 et 21 est : 71294Je ne sais pas

3. Si y et 27 sont premiers entre eux, quelle valeur correspond à y ? y = 34832Je ne sais pas

4. Les diviseurs communs de 36 et 48 est : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 121, 2, 3, 4, 6, 121, 2, 3, 4, 6, 9, 12Je ne sais pas

5. Le p.g.c.d. de 36 et 48 est : 121144Je ne sais pas

6. Le p.g.c.d. de 2³ × 3² × 5 et 2³ × 5² × 7 est : 364080Je ne sais pas

7. Trouver une valeur de x telle que le p.g.c.d. de x et de 54 est 9. x = 276381Je ne sais pas

8. Le p.g.c.d. de 15 et 16 est : 24016Je ne sais pas.

9. Soit B = 1, 2, 5, 10. Trouver 2 nombres dont B est l'ensemble de tous leurs diviseurs communs. (20 et 4020 et 3030 et 60Je ne sais pas)

10. Le p.g.c.d. de 3³ × 5 × 11 et 2 × 5² × 7² est : 25510Je ne sais pas