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Critères de divisibilité par 11 - cours
Les critères de divisibilité par 11 sont des moyens de savoir si un nombre est divisible par 11 sans effectuer la division.
Nous allons voir plusieurs méthodes de vérifier si un nombre est divisible par 11 ou non.
Méthode 1
Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est divisible par 11
Exemple 1 : 9 371 307
Somme des chiffres de rang impair : 7+3+7+9 = 26
Somme des chiffres de rang pair : 0+1+3 = 4
La différence entre les deux : 26 – 4 = 22 (11 × 2). Donc 9 371 307 est divisible par 11
NB : Si la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair d'un nombre est égale à zéro(0), ce nombre est divisible par 11, Car zéro est divisible par 11.
Exemple 2 : 850 726 349
Somme des chiffres de rang impair : 9+3+2+0+8 = 22
Somme des chiffres de rang pair : 4+6+7+5 = 22
La différence entre les deux : 22 – 22 = 0 (11 × 0). Donc 850 726 349 est divisible par 11
Méthode 2
Un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres (en commençant par le chiffre des unités) est divisible par 11.
Reprenons l'exemple 1 : 9371 307
Soit A la somme alternée de 9 371307 :
A = 7-0+3-1+7-3+9
A = 7+3-1+7-3+9
A = 10-1+7-3+9
A = 9+7-3+9
A = 16-3+9
A = 13+9
A = 22 (11 × 2), donc 9 371 307 est divisible par 11
Reprenons l'exemple 2 : 850726 349
Soit B la somme alternée de 850726 349 :
B = 9-4+3-6+2-7+0-5+8
B = 5+3-6+2-7+0-5+8
B = 8-6+2-7+0-5+8
B = 2+2-7+0-5+8
B = 4-7+0-5+8
B = -3+0-5+8
B = -3-5+8
B = -8+8
B = 0 (11 × 0). Donc 850 726 349 est divisible par 11
Méthode 3 :
1) Nombre de trois chiffres
A- Si la somme des deux chiffres extrêmes d'un nombre de trois chiffres est égale au chiffre du milieu, ce nombre est divisible par 11
Exemple 1 : 462 est divisible par 11 car 4+2 = 6.
Exemple 2 : 583 est divisible par 11 car 5+3 = 8.
Exemple 3 : 495 est divisible par 11 car 4+5 = 9.
Remarque : Dans ce cas, il est facile de trouver le quotient du nombre en question. Sachant que 11 est le diviseur, il suffit d'éliminer le chiffre du milieu et de rapprocher les chiffres extrêmes.
Exemple 1 : 462 = 11 × 42 (on élimine 6 et on rapproche les chiffes 4 et 2)
Exemple 2 : 583 = 11 × 53 (on élimine 8 et on rapproche les chiffes 5 et 3)
Exemple 3 : 495 = 11 × 45 (on élimine 9 et on rapproche les chiffes 4 et 5)
Exemple 4 : 121 = 11 × 11 (on élimine 2 et on rapproche les chiffes 1 et 1)
B- Si la somme des deux chiffres extrêmes d'un nombre de trois chiffres est égale au chiffre du milieu + 11, ce nombre est divisible par 11
Exemple 1 : 627 est divisible par 11 car 6+7 = 2+11.
Exemple 2 : 506 est divisible par 11 car 5+6 = 0+11.
Exemple 3 : 748 est divisible par 11 car 7+8 = 4+11.
Exemple 4 : 913 est divisible par 11 car 9+3 = 1+11.
Remarque : Dans ce cas, il n'est pas difficile de trouver le quotient du nombre en question. Sachant que 11 est le diviseur, on enlève 1 du chiffre centaine et on le rapproche du chiffre d'unité
Exemple 1 : 627 = 11 × 57 (on enlève 1 de 6 et on rapproche le résultat de 7 pour avoir 57)
Exemple 2 : 506 = 11 × 46 (on enlève 1 de 4 et on rapproche le résultat de 6 pour avoir 46)
Exemple 3 : 748 = 11 × 68 (on enlève 1 de 7 et on rapproche le résultat de 8 pour avoir 68)
Exemple 4 : 913 = 11 × 83 (on enlève 1 de 9 et on rapproche le résultat de 3 pour avoir 83)
2) Nombre de plus de trois chiffres
Pour un nombre possédant plus de 3 chiffres, on partage ce nombre en tranches de 3 chiffres en commençant par les unités puis on insère alternativement des signes (-) et des signes (+) entre les tranches, de gauche à droite, et on effectue les calculs pour le ramener à trois chiffres, et on applique la méthode à trois chiffres. Si le nombre à trois chiffres trouvé est divisible par 11, le nombre de départ l'est aussi.
NB :On prend toujours la valeur absolue du nombre calculé.
Exemple 1 : 7 436
On le sépare en tranches de 3 chiffres en partant des unités
7 | 436
On insère le signe(-) entre les tranches
|7 – 436| = 429(429 est divisible par 11, car 4+9 = 2+11). Donc 7 436 est divisible par v11
Exemple 2 : 4761 636
On le sépare en tranches de 3 chiffres en partant des unités
4|761|636
On insère alternativement des signes (-) et (+) entre les tranches
4 – 761 + 636 =|-121| = 121 (121 est divisible par 11 car 1+1 = 2).
Donc 4 761 636 est divisible par 11
Exemple 3 : 502 151 892
On le sépare en tranches de 3 chiffres en partant des unités
502|151|892
On insère alternativement des signes (-) et (+) entre les tranches
502 – 151 +892 = 1243
Dans ce cas,on peut ré-séparer en tranches de trois chiffres
1|243
On insère alternativement des signes (-) et (+) entre les tranches
|1 – 243| =242 (2+2 = 4, 242 est divisible par 11).
Donc, 502 152 892 est divisible par 11
Exemple 4 : 5536668005341
On le sépare en tranches de 3 chiffres en partant des unités
5|536|668|005|341
On insère alternativement des signes (-) et (+) entre les tranches
5 – 536 + 668– 005 + 341 = 473 (4+3 = 7, 473 est divisible par 11).
Donc, 5 536 668 005 341 est divisible par 11
Méthode 4
Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on partage ce nombre en tranches de 2 chiffres en commençant par les unités puis on insère des signes (+) entre les tranches et on effectue les calculs. Si le nombre trouvé est divisible par 11, le nombre de départ l'est aussi.
Exemple 1 : 6 237
On le sépare en tranches de 2 chiffres en partant des unités
62|37
On insère des signes (+) entre les tranches
62+37 = 99 (11 × 9). Donc 6237 est divisible par 11
Exemple 2 : 82 148
On le sépare en tranches de 2 chiffres en partant des unités
8|21|48
On insère des signes (+) entre les tranches
8+21+48 = 77 (11 × 7). Donc 82148 est divisible par 11
Exemple 3 : 89 176 340
On le sépare en tranches de 2 chiffres en partant des unités
89|17|63|40
On insère des signes (+) entre les tranches
89+17+63+40 = 209
On recommence avec l'exercice
2|09
2+9 = 11 (11 × 1). Donc 89 176340 est divisible par 11
Exemple 4 : 7 276 742 505615
On le sépare en tranches de 2 chiffres en partant des unités
7|27|67|42|50|56|15
On insère des signes (+) entre les tranches
7+27+67+42+50+56+15 = 264
On recommence avec l'exercice
2|64
2+64 = 66 (11 × 6). Donc 7 276742 505 615 est divisible par 11
Méthode 5
Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on fait la différence entre son nombre de dizaine et son chiffre des unités. On répète l'exercice jusqu'à ce qu'on trouve un nombre inférieur à trois chiffres. Si le nombre trouvé est divisible par 11, le nombre de départ l'est aussi.
Exemple 1 : 5 973
597 – 3 = 594
On répète l'exercice
59 – 4 = 55 (11 × 5). Donc 5 973 est divisible par 11
Exemple 2 : 97 713
9771 – 3 = 9768
976 – 8 = 968
96 – 8 = 88 (11 × 8). Donc 97 713 est divisible par 11
Exemple 3 : 316 947 548
31694754 – 8 = 31 694 746
3169474 – 6 = 3 169 468
316946 – 8 = 316 938
31693 – 8 = 31 685
3168 – 5 = 3 163
316 – 3 = 313
31 – 3 = 28 (28 n'est pas divisible par 11)
Donc 316 947 548 n'est pas divisible par 11
Exemple 4 : 69 199 126 084
6919912608 – 4 = 6 919 912 604
691991260 – 4 = 691 991 256
69199125 – 6 = 69 199 119
6919911 – 9 = 6 919 902
691990 – 2 = 691 988
69198 – 8 = 69 190
6919 – 0 = 6 919
691 – 9 = 682
68 – 2 = 66 (11 × 6).
Donc 69 199 126 084 est divisible par 11
Faites le bon choix !
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