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Collision d'un point sur un triangle en 3D

Introduction

Ce cours vise à calculer le point de collision d'un point (dont seules les coordonnées x et y sont connues )avec un triangle situé dans un espace en 3 dimensions.
Pour se faire, il faudra impérativement savoir calculer le point d'intersection de 2 droites. Voici un lien pour apprendre à le faire : test.

1)Mise en situation

Les coordonnées dans ce cours seront écrites sous cette forme (x,y,z).

Nous avons un triangle ABC ayant pour coordonnées:

1. A =(2.5,5,10.3)
2. B =(-2,20,25)
3. C =(20,0,15)

Ainsi qu'un point D dont nous voulons connaître la position sur l'axe Z et dont nous savons qu'il se situe à l'intérieur du triangle par rapport aux axes X et Y:

        D = (5.5, 6.7,?)

2)Calcul de l'intersection des droites AD->BC

Nous allons donc calculer l'intersection que nous nommerons E, des droites AD et BC (et non BD et AC comme le dessin l'indique) en ne considérant que l'axe X et Y.

Le cours pour calculer l'intersection de droites étant assez conséquent je vous mets le lien ^-^ : test

Après les calculs, nous trouvons que E se situe aux coordonnées (9.89,9.19,?).

3)Calcul de la position z du point E

Pour ce faire, on va utiliser la proportionnalité, et calculer la position x,y par rapport à BC.

Il nous faut donc la distance séparant B de C ainsi que celle séparant C de E.

Pour calculer la distance on fait:

• √((Bx-Cx)²+(By-Cy)²)
• √((-2-20)²+(20-0)²) = 29.73
• √((Cx-Ex)²+(Cy-Ey)²)
• √((20-9.89)²+(0-9.19)²) = 13.66

Ensuite on divise CE par BC:

• R = CE/BC = 0.46

Une fois que c'est fait, on prend les valeurs z pour calculer la position de E:

• E.z = C.z + (B.z - C.z) x R
• E.z = 15 + (25-15) x 0.46 = 19.59

Nous connaissons désormais la position du point E et on a quelque chose qui ressemble au dessin.

4)Calcul de la position z du point D

Et pour finir, on recommence l'étape précédente en remplaçant BC par AE et CE par AD et on obtient la tant convoitée coordonnée z du point D! (z = 14.07)

5)Exercice

Pour l'exercice, il est conseillé de prendre une calculatrice, un papier et un crayon, sinon !

Donnez le résultat avec 2 chiffres après la virgule.

Exercice 1:

Triangle ABC:

A = (4,12,8)

B = (-14,-5,7)

C = (32,7,10)

Point D:

D = (14.3,7.4,?)

Exercice 2:

Triangle ABC:

A = (6,20,22)

B = (34,34,34)

C = (34,4,34)

Point D:

D = (23,20,?)

Exercice 3:

Triangle ABC:

A = (-6.66,66.6,6.6)

B = (66,66,66)

C = (6.66,6.66,66)

Point D:

D = (16.66,56.66,?)

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1. Calculez la valeur x de l'intersection entre AD et BC:

2. Calculez la valeur y de l'intersection entre AD et BC:

3. Calculez la valeur z du point d'intersection obtenu de sorte qu'il appartienne à BC:

4. Calculer la valeur z du point D:

5. Exercice 2: Calculez la valeur x de l'intersection entre AD et BC:

6. Calculez la valeur y de l'intersection entre AD et BC:

7. Calculez la valeur z du point d'intersection obtenu de sorte qu'il appartienne à BC:

8. Calculer la valeur z du point D:

9. Exercice 3: Calculez la valeur z du point d'intersection obtenu de sorte qu'il appartienne à BC:

10. Calculer la valeur z du point D: