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Chiffres significatifs

Lorsqu'un nombre prend une signification réelle pour représenter une grandeur souvent dimensionnée (une longueur, un volume...), le nombre de chiffres employés pour le décrire est extrêmement important. On les nomme chiffres significatifs, cs en abrégé. Lorsque ces nombres sont ensuite manipulés entre eux, notamment à l'aide des quatre opérations usuelles, il faut prendre garde à maintenir la pertinence du résultat. 

I. Définition.

Règle 1 : les chiffres autres que les zéros sont toujours significatifs. Les zéros ne sont pas significatifs s'ils sont placés en tête d'un nombre.

Dans les exemples suivants, les chiffres significatifs sont soulignés

• 1,3700 comporte 5 chiffres significatifs
• 1,370 comporte 4 chiffres significatifs
• 1,37 comporte 3 chiffres significatifs
• 0,37 comporte 2 chiffres significatifs

Cas particulier des zéros terminaux.

S'il s'agit d'un nombre à virgule, les zéros terminaux sont significatifs. Dans les exemples précédents, 1,3700 et 1,370, les zéros terminaux étaient tous significatifs.

S'il s'agit d'un nombre entier, seul le contexte peut permettre de trancher.

Par exemple

• 100 manifestants ont défilé.
• Le boulanger a commandé 100 kg de farine.

Dans la première phrase, on devine aisément que les derniers zéros ne sont pas significatifs ; peut-être y avait-il 111 ou 97 manifestants, seule l'idée d'environ une centaine de manifestants est importante.

Dans la deuxième phrase, on peut être sûr en revanche, que si le boulanger a commandé 100 kg de farine, il n'en a reçu ni 99, ni 101. Il a payé pour 100 kg, et doit donc être livré de 100 kg de farine !

Cas particulier des conversions.

Lorsque l'on passe d'une unité à un multiple ou à un sous-multiple, il faut veiller à conserver le même nombre de chiffres significatifs.

Par exemple,

• V=1,03 m³ = 1,03 10^6 mL (3 cs) et non 1,03000 mL (6 cs)
• m=1,37 kg = 1,37 10³ g (3 cs) et non 1,37000 g (6 cs)

II. Résultat d'un calcul

Lorsque l'on additionne, soustrait, multiplie ou divise des nombres entre eux, des règles simples permettent de présenter le résultat de façon pertinente vis-à-vis du nombre de chiffres significatifs de chacune des données.

2.1 Addition, soustraction.

Règle 2 : la règle porte sur les décimales et consiste à dire que le résultat d'une addition ou d'une soustraction ne doit pas avoir plus de décimales que la donnée qui en a le moins.

Par exemple, dans le cas d'une addition

1,33 + 0,50 = 1,83

est exacte, les deux données ayant chacune deux décimales.

En revanche

1,33 + 0,5 = 1,83

doit être écrit 1,8 puisque la deuxième donnée (0,5) ne comporte qu'une décimale. En effet, écrire 1,83 revient à supposer que la deuxième donnée est 0,50. Or s'il est écrit 0,5 c'est que le chiffre suivant est inconnu et pourrait tout aussi bien être un 1 (0,51) ou un 2 (0,52), etc.

De même pour la soustraction,

1,33-0,5 = 0,83

doit être écrit 0,8 (du fait de l'existence d'un seul chiffre significatif pour la seconde donnée 0,5) alors que l'écriture

1,33-0,50 = 0,83

est correcte.

Remarque.

Bien que cela puisse paraître surprenant, le résultat d'une opération peut avoir un nombre de chiffres significatifs différent de celui de certaines des données dont il est issu, c'est-à-dire inférieur mais aussi supérieur !

Prenons le cas de l'opération

1,003 + 0,002 = 1,005.

Le résultat comporte 4 cs comme la première donnée, bien que la deuxième donnée n'en comporte qu'un.

1,003 - 0,998 = 0,005.

Le résultat ne comporte qu'un seul cs alors que les données comportent respectivement 4 et 3 cs.

2.2 Multiplication, division.

Règle 3 : la règle porte ici sur le nombre de chiffres significatifs et stipule que le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Par exemple, si l'on souhaite calculer la surface d'un disque de rayon r=1,1 m, on applique la relation S=pi r².

On lit sur l'écran d'une calculatrice S=3,8013271108437... m² mais le rayon ne comporte que 2 chiffres significatifs et le résultat doit donc être écrit sous la forme S=3,8 m².

Vous avez bien compris ? Nous allons vérifier cela tout de suite sur les exemples suivants.

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