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Équations du second degré (Niveau 1ère)

Une équation du second degré est de manière générale sous la forme ax²+bx+c=0 avec a≠ 0

1) Résolution de l'équation (méthode du discriminant)

On calcule le discriminant Δ=b²-4ac puis

Si Δ>0 alors x=(-b±√(Δ))/2a
Si >Δ=0 alors x=-b/2a
Si Δ<0 alors il n'y a pas de solution

2) Résolution de l'équation (utilisant la forme canonique)

A utiliser si et seulement si vous êtes à l'aise en factorisation, cette méthode a le mérite d'être efficace et beaucoup plus rapide que la précédente uniquement si la factorisation se fait de manière très naturelle! 

Je le fais sur deux exemples pour que vous compreniez bien.

Exemple 1 : x²-x-1=0 
On isole pour commencer x²-x
On reconnait un début d'identité remarquable x²-x+...=(x-1/2)² donc (x-1/2)²-1/4=(x²-x+1/4)-1/4=x²-x
On continue le calcul en posant a=x²-x et b=5/4 (explication du 5/4 dans le calcul ci-après) avec l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) soit : 

(x-1/2)²-1/4-1=0 <=> (x-1/2)²-5/4=0
                        <=> ((-x+√(5))/2)((-x-√(5))/2)=0

d'où les solutions (1-√(5))/2 et(1+√(5))/2

Exemple 2 : 3x²-12x+1=0 
     
3x²-12x+1<=> 3(x²-4x)+1=0
              <=> 3((x-2)²-4)+1=0
              <=> 3(x-2)²-12+1=0
              <=>(x-2)²-11/3=0
              <=>((x-2-√(11/3))(x-2+√(11/3))=0

d'où les solutions 2+√(11/3) et 2-√(11/3)

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1. Résoudre x²-5x+6 x=5/2il n'y a pas de solutionx=2 ou x=3Je ne sais pas

2. Résoudre x²-(7/4)x+49/64=0 Pas de solutionx=3x=7/8Je ne sais pas

3. Résoudre x²+x+1 x=1Pas de solutionx=1 et x=-1Je ne sais pas

4. Résoudre -6x²+17x-7=0 Pas de solutionx=7/3 et x=-1/2x=7/3 ou x=1/2Je ne sais pas

5. Résoudre -6x²+17x-7=3 pas de solutionx=2 ou x=5/6Je ne sais pas

6. Ayez un peu d'astuce : x³-3x²+2x=0 x=0 ou x=1 ou x=2x=2 ou x=5/6Pas de solutionJe ne sais pas

7. Résoudre x²=4 x=2x=2 ou x=-2x=-2Je ne sais pas

8. Ayez un peu d'astuce x^4-2x²+1=0 x=1 ou x=-1x=1ou x=0 ou x=-1pas de solutionJe ne sais pas

9. Pourquoi 157x^4+12x²+83 n'a pas de solutions? Parce que 157 est supérieur à 83Parce que les coefficients sont tous positifsJe ne sais pas

10. Factoriser x²-9x-36 (x+12)(x+3)(x-12)(x+3)(x-12)(x-3)Je ne sais pas