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Nombres Complexes

1- Introduction:
Le carré d'un réel est toujours positif ou nul.

On admettra alors l'existence d'un certain élément non nul qu'on notera i vérifiant: i²=-1 et d'un ensemble qui contient R et des éléments non réels, appelé ensemble des nombres complexes que l'on note C. 

Chaque élément z de cet ensemble C s'écrit d'une manière unique sous la forme z=x+iy avec x et y deux réels.

On appelle x la partie réelle de z noté Re(z) et y la partie imaginaire de z noté Im(z).

Toutes les propriétés de l'addition ainsi que celles de la multiplication restent valides dans C. Mais attention  il n'y a pas de relation d'ordre dans C ( on ne peut pas dire qu'un certain élément de C est plus grand ou plus petit qu'un autre).

 Représentation géométrique:

Tout nombre complexe possède une représentation géométrique unique dans le plan complexe, ce plan est muni d'un repère orthonormé. Soit z= a+ib avec a et b deux réels quelconque et M le représentant de z dans le plan complexe alors le point M a pour coordonnées (a,b).
z est appelé affixe du point M.

On définit alors le vecteur  d'affixe Z

2-Conjugaison :

Soit z un élément de C, on sait qu'il existe x et y de R tels que z=x+iy. On appelle conjugué de z le complexe 

  Propriétés:

• 
• 
• le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués
•  si et seulement si z est un réel
• si et seulement si z est imaginaire pur

( un imaginaire pur est un complexe dont sa partie réelle est nulle)

 Interprétation géométrique:

 Soit z=x+iy

 Soit le point M' le représentant de le conjugué de z de représentant le point M dans un plan complexe alors M' sera le symétrique de M par rapport à l'axe réel ( l'axe des abscisses). On peut aussi définir M' comme étant le point de coordonnées (x,-y).

3- Module:

Le module d'un complexe z=x+iy est un réel positif noté |z| et défini par la relation |z|=|x+iy|=√(x²+y²).

 Propriétés:

• |z|=|z|
• |z|=0 <=> z=0
• |z×z'|=|z|×|z'|
  
• |z^n|=|z|^n
• le produit de z par son conjugué est égal à |z|²
• |z/z'|=|z|/|z'|
• |z+z'|≤|z|+|z'|

 Interprétation géométrique:

Soit z un nombre complexe et M le point du plan complexe représentant z alors |z| est la distance entre le point O (origine du repère)et le point M. Autrement dit, |z| est la norme du vecteur .

4- Forme trigonométrique et argument d'un nombre complexe:

On sait que tout nombre complexe possède une unique représentation dite algébrique sous la forme z=x+iy, ce même z peut s'écrire également sous forme appelée forme trigonométrique définie par la relation z= |z| [ cos(φ) +i sin(φ)].

On appelle φ argument de z noté Arg(z).
Il est à noter qu'un réel non nul na pour argument 0 et que 0 n'a pas d'argument.

 Propriétés:

• arg(z)≡0[2∏] <=> z est un réel positif non nul
• arg(z)≡0[∏] <=> z est un réel non nul
• arg(z)≡∏/2[∏] <=> z est imaginaire pur non nul
• arg(z)≡-arg(z)[2∏]
• arg(z×z')≡arg(z)+arg(z') [2∏]
• arg(z/z')≡arg(z)-arg(z')[2∏]

 Interprétation géométrique:

Soit z un nombre complexe et M le point du plan complexe représentant z, l'argument de z est une mesure en radians de l'angle orienté vecteur(OI), vecteur (OM)

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Exercice de maths (mathématiques) "Nombres Complexes" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test !
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Soit le nombre complexe z=[(1+racine(3))+i (1-racine(3))] / (1-i), sa forme algébrique la plus simple est racine(3)-i1+i racine(3)racine(3)+iJe ne sais pas.

Son module est -221/2Je ne sais pas.

Sa forme trigonométrique est 2[cos(pi/6)+i sin(pi/6)]-2[cos(pi/6)+i sin(pi/6)]2[cos(pi/3)-i sin(pi/3)]Je ne sais pas.

Un de ses arguments est -pi/6-pi/3pi/6Je ne sais pas.

Son conjugué est racine(3)-iracine(3)+i1+i racine(3)Je ne sais pas.

Le module de son conjugué est -1/22-2Je ne sais pas.

La forme trigonométrique de son conjugué est 2[cos(-pi/6)+i sin(-pi/6)]-2[cos(-pi/6)+i sin(-pi/6)]2[cos(pi/3)+i sin(pi/3)]Je ne sais pas.

L'argument de son conjugué est -pi/6pi/6pi/3Je ne sais pas.

On fait la représentation de z, de son conjugué et de z'=-2 racine(3) respectivement par les points M, M1 et A dans un repère orthonormé: l'affixe du vecteur est 3racine(3)+i3racine(3)-i[1+2 racine(3)]+i racine(3)Je ne sais pas.

L'affixe du vecteur est 3racine(3)-i[1+2 racine(3)]-i racine(3)3racine(3)+iJe ne sais pas.

Soit D le point tel que AMDM1 soit un parallélogramme: l'affixe du vecteur est 2 racine(3)+i6 racine(3)2 racine(3)Je ne sais pas.

L'affixe de D noté z'' est alors 4 racine(3)i0Je ne sais pas.

z'' est un nombre réelni réel ni imaginaire purimaginaire purJe ne sais pas.

L'argument de z'' est pi/20n'a pas d'argumentJe ne sais pas.

D est situé sur l'origine du repère Ol'axe réel (axe des abscisses)l'axe imaginaire (axe des ordonnées)Je ne sais pas.