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Equations de plans de l'espace - cours

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;I;J)

1. Équations de plans de l'espace

Dans l'espace, tout plan admet une équation du type ax+by+cz=d où a, b, c et d sont des constantes réelles telles que  b et c ne sont pas tous nuls

et réciproquement, toute équation de ce type est associée à un plan.

Cas particuliers :

Si a=0, alors le plan est parallèle à l'axe des abscisses

Si b=0, le plan est parallèle à l'axe des ordonnées

Si c=0, le plan est parallèle à l'axe des côtes

Exemples : ci-dessous, on a représenté un cube en perspective cavalière

est un repère orthonormé de l'espace

Dans ce repère, le plan de base (xOy) contient la face ABCD du cube; ce plan a pour équation z=0 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient l'origine A(0; 0; 0) donc d=0)

Le plan parallèle à (xOy) qui contient la face EFGH a pour équation z=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient G(1; 1; 1) donc c=d )

Le plan (CDH), parallèle au plan de base (xOz), a pour équation y=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oz) donc c=0; il passe par H(0;1;1) donc b=d )

Le plan (ACG) a pour équation x-y=0 (il est parallèle à (Oz) donc c=0; il contient A(0; 0; 0), C(1; 1; 0), G(1; 1; 1), E(0; 0; 1), S(1; 1; 3/2) ... )

Le plan parallèle au plan (ACG) passant par R(0; 2; 1) a pour équation x-y=-2

2. Position relative de deux plans de l'espace

Deux plans sont :
- soit parallèles (strictement parallèles ou bien confondus)
- soit sécants et leur intersection est une droite

Les pages d'un livre ouvert peuvent représenter des plans sécants

L'intersection de deux plans dans l'espace peut être :
- un plan (dans le cas où les plans sont confondus)
- une droite (dans le cas où les plans sont sécants)
- l'ensemble vide (dans le cas où les plans sont strictement parallèles)

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L'ensemble des points vérifiant l'équation est une droiteun planla réunion de deux droitesJe ne sais pas coupant l'axe des abscisses au point A(0; 0; 6)A(3; 0; 0)A(0; -2; 0)Je ne sais pas, coupant l'axe des ordonnées au point B(0; 0; 6)B(2; 0; 2)B(0; -2; 0)Je ne sais pas et coupant l'axe des cotes au point C(0; -2; 0)C(5; 8; 2)C(0; 0; 6)Je ne sais pas

L'ensemble (E) des points vérifiant l'équation est un planune droitela réunion de deux droitesJe ne sais pas L'intersection de (E) avec l'axe des abscisses est une droitele point D(3; 0; 0)l'ensemble videle point D(3; 1; 0)Je ne sais pas et l'intersection de (E) avec l'axe des ordonnées est le point F(1; 0; 4)une droitel'ensemble videJe ne sais pas

L'ensemble des points vérifiant le système est une droiteun plan parallèle au plan (xOz)réduit à un pointJe ne sais pas

L'ensemble des points vérifiant l'équation est une droite parallèle à (Oz)une droite parallèle à (xOy)un planJe ne sais pas

L'ensemble des points vérifiant le système est une droiteréduit à un pointun planJe ne sais pas