Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°45257 : Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours

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Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours

I. Une équation de degré 2, d'inconnue z

s'écrit az²+ bz + c = 0 sous forme développée, où a, b et c sont des nombres connus avec a ≠ 0

Résoudre dans l'ensemble de nombres complexes une équation d'inconnue z, c'est trouver les solutions complexes, c'est-à-dire les valeurs des complexes z qui rendent l'égalité correcte.

rappel: i est le nombre complexe dont le carré vaut -1: i² = - 1

On note, dans tout le cours, l'ensemble des nombres complexes : C.

II. RÉSOUDRE dans C, l'ÉQUATION de degré 2,

az²+ bz + c = 0 avec a≠0

Comme en terminale, on se limite aux cas où a, b et c sont des réels.

procédure

On calcule le DISCRIMINANT b²-4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure

Note: Δ est un réel car a, b et c sont réels.

Δ = b² - 4ac

Δ > 0 (son signe est +)

on peut conclure :

l'équation a deux solutions réelles

calcul de ces solutions:

Δ, positif, est le carré d'un réel, soit Δ=r²

Les solutions sont :

$z_1= \frac {-b-r}{2a}$

$z_2= \frac {-b+r}{2a}$

Δ = 0

on peut conclure :

l'équation a une solution unique réelle, dite solution double

calcul de cette solution :

$z_1 = z_2 = \frac {-b}{2a}$

Δ < 0 (son signe est -)

on peut conclure :

l'équation a deux solutions complexes et conjuguées

calcul de ces solutions:

|Δ|, positif, est le carré d'un nombre réel r, ainsi Δ = (i r)²

Les solutions sont

$z_1= \frac {-b-ir}{2a}$

$z_2= \frac {-b+ir}{2a}$

exemple: z² + z + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3 = 3i²; c'est le carré de $i \sqrt 3$

z² + z + 1 = 0 admet donc deux solutions complexes et conjuguées

calcul de ces solutions:

$z_1= \frac {-1-i\sqrt 3}{2}$

$z_2= \frac {-1+i\sqrt 3}{2}$

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L'équation x² + 1 = 0 admet pour solutions

L'équation x² + x - 10 = 0 admet-elle deux solutions non réelles, complexes et conjuguées ?

L'équation x² + x + 10 = 0 admet-elle deux solutions non réelles, complexes et conjuguées ?

Le nombre - 100 admet-il deux racines carrées dans C

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- i est-il solution de $z^4=1$ ?

L'équation - 2z² + 4z - 10 = 0 admet pour solutions complexes

L'équation z² = - 4 admet-elle deux solutions dans C ?

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L'équation (z - 10)² + 400 = 0 admet pour solutions complexes

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