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Equation du premier degré - cours
Résolution d'équations du premier degré (à une inconnue)
Une équation est une égalité entre 2 membres composés de valeurs numériques (nombres).
Résoudre une équation à une inconnue consiste à identifier dans une équation donnée, un élément inconnu qu'on matérialise par une lettre, par exemple la lettre x.
Ce x (élément inconnu), correspond en fait à un nombre qu'il convient de découvrir pour vérifier que l'égalité (équation) posée est vraie.
1er exemple :
x + 6 = 12
x + 6 correspond au premier membre de l'égalité, et 12 au deuxième membre, l'ensemble étant une équation.
Afin de vérifier si cette équation est juste, il faut donc identifier x.
Comment procéder ? il faut d'abord isoler ce x. Dans cet exemple, cela suppose de faire disparaître le 6 qui est dans le premier membre de l'égalité : x + 6 - 6 ; en soustrayant le nombre 6 par lui-même on obtient 0, ce qui le fait disparaître, car 0 est un élément neutre dans une addition ou une soustraction. Il ne reste donc plus que x.
Mais alors, afin de ne pas déséquilibrer l'égalité, on est aussi obligé de soustraire le nombre 6 dans l'autre membre de l'égalité, ce qui donne :
x + 6 - 6 = 12 - 6
Donc : x = 6
Maintenant qu'on a identifié l'élément inconnu (x), il est possible de vérifier que l'égalité est vraie.
Ainsi : 6 + 6 = 12 (égalité juste)
Si on n'avait soustrait le nombre 6 que dans le premier membre de l'égalité, voici ce qu'on aurait obtenu :
x + 6 - 6 = 12
x = 12
En remplaçant x par 12, on obtiendrait : 12 + 6 = 12, ce qui est faux.
Il est possible de le vérifier également dans une égalité où tous les éléments sont connus.
Ex : 2 + 5 = 3 + 4 (égalité vraie)
Si on faisait disparaître le nombre 5 par exemple, il conviendrait de le soustraire dans les 2 membres de l'équation, ce qui donne :
2 + 5 - 5 = 3 + 4 - 5
2 = 2 (égalité juste)
Si en revanche on n'enlevait le nombre 5 que dans le premier membre, on obtiendrait ceci :
2 + 5 - 5 = 3 + 4
2 = 7 (faux)
2° exemple :
x - 4 = 8 + 6
Pour isoler x, on doit faire disparaître le nombre 4. Compte tenu du fait qu'il s'agit d'un nombre négatif (- 4), il conviendra d'ajouter le nombre 4, soit + 4, mais là encore dans les 2 membres pour que l'égalité ne soit pas déséquilibrée. On obtient donc ceci :
x - 4 + 4 = 8 + 6 + 4
x = 18
En remplaçant x par 18, vérifions que l'égalité est vraie :
18 - 4 = 8 + 6 (égalité vraie)
3° exemple :
4x = 12
4x équivaut en fait à 4 * x
Pour isoler x (élément inconnu), on doit faire disparaître le nombre 4. Dans cet exemple, il conviendra de diviser le nombre 4 par lui-même, et on obtiendra 1 ; le nombre 1 est neutre dans une multiplication.
Ainsi :
4x / 4 = 12 / 4
On doit là encore impérativement effectuer cette division dans les 2 membres de l'égalité.
Ainsi : 1x = 3, ce qui donne en fait : x = 3
Si on vérifie l'équation initiale en remplaçant x par 3, on obtient : 4 * 3 = 12 (égalité vraie)
Si on avait divisé 4 par lui-même uniquement dans le premier membre, on aurait obtenu :
4x / 4 = 12
x = 12
En remplaçant x par 12, cela donnerait :
4 * 12 = 12 (faux)
De même si on modifie l'équation comme suit :
4x + 8 = 5 + 15
Pour isoler x, on doit faire disparaître les nombres 4 et 8 en soustrayant 8 par lui-même et en divisant 4 par lui-même.
Ainsi : 4x + 8 - 8 = 5 + 15 - 8
Equivaut à : 4x = 12
4x / 4 = 12 / 4
Equivaut à : x = 3
Dans l'équation initiale, si on remplace x par 3, voici ce qu'on obtient :
4 * 3 + 8 = 5 + 15 (égalité vraie)
Dans l'exercice qui suit, il conviendra d'identifier le x, élément inconnu, dans chacune des équations suivantes.
Consigne : écrire la valeur de x dans la case si cette valeur n'est pas un naturel, l'écrire sous forme décimale |
Bon courage à vous.
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