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Résoudre une équation du second degré - cours

1) Etablir les conditions d'existence.

ATTENTION : On ne peut jamais diviser par 0 !

ATTENTION : Dans R, les racines d'un nombre négatif n'existent pas !

Exemple 1 : si on a (2/(3+x)) = 1, alors 3+x doit être différent de 0 et donc x doit être différent de -3 (x ≠ -3).

Exemple 2 : si on a 3*rac(2x+1) = 3, alors, dans R, 2x+1 ne PEUT PAS être négatif, donc x doit être plus grand ou égal à -1/2 (x ≥ -1/2).

2) Remettre l'équation sous la forme ax²+bx+c = 0

3) Isoler x.

Comment fait-on ?

Comme suit : si ax²+bx+c = 0, alors x = (- b ± rac(b² - 4ac)) / (2a) ⇒ Il y a donc toujours 2 solutions dans C ; une solution avec le "+" du "±", et une solution avec le "-" du "±". Et si b² - 4ac = 0 alors il y a deux fois la même solution, c'est ce qu'on appelle une solution double. Cependant, dans R, il n'y a deux solutions que si b² - 4ac > 0.

4) Remplacer les lettres par les valeurs adéquates et calculer les deux solutions dans C.

5) Voir avec les conditions d'existence et la consigne (dans R ou dans C ?) quelle(s) solution(s) est(sont) admise(s).

6) Noter les solutions sous la forme : S = (x1;x2) avec x1 < x2 si les deux solutions sont admises, S = (x) si solution double et S = (∅) si aucune des deux solutions ne sont admises.

N.B. : on note normalement les solutions entre crochets, le logiciel ne les prend pas, donc je les ai symbolisés par des parenthèses.

Pour vous aider à calculer des racines de nombre complexe : https://mathdf.com/com/ 

IMPORTANT

Comment noter les réponses ?

Pour noter ∅ dans vos solutions de l'exercice, notez "/".

Pour exprimer la racine carrée, utilisez "rac(nombre)".

Si division il y a, n'oubliez pas les parenthèses.

Pour noter la partie imaginaire d'un nombre complexe : i*nombre.

Réponses simpifiées au maximum et non arrondies.

Pas d'espace.

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1. Résoudre dans R l'équation suivante : 3x² - 6x + 2 = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

2. Résoudre dans C l'équation suivante : x² + x + 1 = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

3. Résoudre dans R l'équation suivante : 3x² - 2x + 7 = -6x² - x + 3. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

4. Résoudre dans C l'équation suivante : x + 1 = (6x - 24) / (x - 4). S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

5. Résoudre dans R l'équation suivante : (3x² - 88x - 155) / (x - 31) = x + 7. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

6. Résoudre dans R l'équation suivante : x² - x - 56 = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

7. Résoudre dans C l'équation suivante : x² - 4x + 8 = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

8. Résoudre dans R l'équation suivante : x² - 6x + 9 = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

9. Résoudre dans C l'équation suivante : x² - (1 + 4i)x + 4i = 0. S = ((-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas)

10. Vrai ou Faux ? (notez V ou F) Une équation du second degré peut ne pas trouver de solution dans l'ensemble des réels. Réponse :
(-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas

11. Donner la formule du produit des solutions d'une équation du type ax² + bx + c = 0. x1 . x2 = (-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas

12. Donner la formule de la somme des solutions d'une équation du type ax² + bx + c = 0. x1 + x2 = (-1-i*rac(3))/2;(-1+i*rac(3))/2(3-rac(3))/3;(3+rac(3))/3-7;8-b/a/11;i*42-i*2;2+i*235Vc/a Je ne sais pas