Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°52421 : Bases - cours

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Bases - cours

1 Le zéro et la numération décimale

a) Le zéro (absence, vide) était une notion difficilement acceptable par certaines civilisations.

Il a fallu beaucoup de temps avant que le zéro ne devienne un nombre et 0 un chiffre comme les autres...

...et que l'on aboutisse à la numération de position telle que nous la connaissons.

b)Le système décimal (ou à base 10) utilise les 10 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Les groupements se font par 10 : avec 10 unités on forme une dizaine, avec 10 dizaines une centaine...

3 247 = 3 x 1 000 + 2 x 100 + 4 x 10 + 7 x 1 = 3 x 10³ + 2 x 10² + 4 x 10¹ + 7 x 10⁰

(a⁰ = 1 si a n'est pas nul)

12 009 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 9 x 1 = 1 x 10⁴ + 2 x 10³ + 0 x 10² + 0 x 10¹ + 9 x 10⁰

Remarque : on peut faire des groupements par 5, on obtient un système à base 5 qui utilise 5 chiffres: 0, 1, 2, 3, 4.

$\overline{1302}$ (en base 5) correspond à 1 x 5³ + 3 x 5² + 0 x 5¹ + 2 x 5⁰ = 1x 125 + 3 x 25 + 0 x 5 + 2 x 1 = 202 (en base 10)

Le nombre qui s'écrit $\overline{1302}$ en base 5 s'écrit 202 en base 10

On peut faire des groupements par 2, 3, 4, 5, 6...

2 La numération binaire (à base 2)

C'est le système de numération utilisé par l'ordinateur.

Tous les nombres sont représentés avec les 2 symboles 0 et 1.

Après le 0 et le 1 on a $\overline{10}, \quad \overline {11}, \quad \overline {100} \quad ...$

base 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
base 2	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{10}$	$\overline{11}$	$\overline{100}$	$\overline{101}$	$\overline{110}$	$\overline{111}$	$\overline{1000}$	$\overline{1001}$	$\overline{1010}$

Passage de la base 2 à la base 10 :

$\overline{1101}$ (en base 2) = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 (en base 10)

Passage de la base 10 à la base 2 :

a) on peut écrire le nombre sous la forme d'une somme de puissances de 2

23 (base 10) : 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = $\overline{10111}$ (en base 2)

b) on peut aussi diviser 23 par 2, quotient 11 et reste 1

on divise ensuite 11 par 2, quotient 5 et reste 1

on divise 5 par 2, quotient 2 et reste 1

on divise 2 par 2, quotient 1 reste 0

résultat: 1 0 1 1 1

Les chiffres sont des dessins, des symboles pour représenter les nombres. Un nombre peut s'écrire avec un ou plusieurs chiffres, il peut s'écrire en lettres...

quatre, 4, IV, four, sont différentes manières de représenter le même nombre.

1 245 est un nombre de quatre chiffres;

2 est le chiffre des centaines, 12 est le nombre de centaines ;

4 est le chiffre des dizaines, 124 est le nombre de dizaines ;

1 est le chiffre des mille, 1 est le nombre de mille.

EXERCICE : dans les réponses, écrire tous les chiffres les uns à côté des autres SANS METTRE D'ESPACE ni de point.

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1. Ecrire le nombre $\overline{11110}$ (base 2) en base 10 :

2. Ecrire le nombre 25 (base 10) en base 2 :

3. Soit le nombre 737. Voici 2 phrases :
-1 : 'Le chiffre des centaines est 7.'
-2 : 'le nombre des unités est 7.'
L'une de ces deux phrases est fausse, mettre son numéro (1 ou 2) dans la case réponse :

4. Ecrire le nombre 97 (base 10) en base 5 (on pourra faire les divisions successives par 5) :

5. Ecrire le nombre $\overline{333}$ (base 4) en base 10 :

6. Ecrire le nombre $\overline{120}$ (base 3) en base 2 (passer par l'intermédiaire de la base 10) :

7. Le nombre 30 (base 10) s'écrit $\overline{36}$ en base a. Trouver a :

8. La base 12 nécessite 12 chiffres : $\overline{0};\overline{1};\overline{2};\overline{3};\overline{4};\overline{5};\overline{6};\overline{7};\overline{8};\overline{9};\overline{A};\overline{B}$
$\overline{A}$ correspond à 10 et $\overline{B}$ correspond à 11 ; après $\overline{B}$ il y a $\overline{10}$ .
On demande d'écrire le nombre qui suit $\overline{BAB}$ en base 12 : :

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