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Bac ES Amérique du Nord mai 2012 (3)

Exercice largement inspiré de l'exercice 3 du sujet de baccalauréat français donné en Amérique du Nord en mai 2012

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Partie A
On donne ci-dessus la courbe représentative notée (C) dans un repère orthonormé d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-2; 4]
On nomme A le point de la courbe (C) d'abscisse -1 et B le point de (C) d'abscisse 0.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-2; -1] et strictement décroissante sur l'intervalle [-1; 4]
La tangente à (C) au point A est horizontale.
La droite (T) est la tangente à (C) au point B et a pour équation y= -x+2

1° a) Lire le nombre dérivé de f en -1 : f '(-1)=
1) b) On détermine le signe de f '(2) : f'(2) est
1) c) On interprète graphiquement le nombre f '(0) : f '(0) est . et f '(0)=
2° On encadre avec deux entiers consécutifs l'intégrale
$I= \int_{-1} ^0 f(x)dx$ .
< I <

Partie B
La fonction f de la partie A a pour expression
$f(x)=(x+2)e^{-x}$
1° On calcule la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe (C):

2° On veut justifier le sens de variations de f sur l'intervalle [-2; 4]
La fonction f étant dérivable sur [-2; 4], on peut calculer l'expression de sa dérivée
f '(x)=
le nombre exp(-x) est pour toute valeur de x dans [-2, 4]
f '(x) et (-x-1) ont
On sait que lorsque f est dérivable sur un intervalle I, et que la dérivée est positive sur I, alors la fonction f est sur I
On sait que lorsque f est dérivable sur un intervalle I, et que la dérivée est sur I, alors la fonction f est sur I
On applique les propriétés précédentes pour justifier le sens de variations de f.

3° On montre que la fonction F définie par
$F(x)=(-x-3)e^{-x}$
est une primitive de f sur [-2; 4] en et on montre que F '(x) =
4° On calcule l'intégrale I définie dans la partie A
I= F()-F( ) =

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