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Valeur absolue (niveau Terminale ou plus) - cours de maths (mathématiques)
On appelle valeur absolue d'un nombre réel x (noté |x| le nombre réel qui satisfait aux conditions suivantes :
|x|=x si x ≥0
|x|=-x si x < 0.
Exemples :
|0|=0, |1|=1, |-2|=2.
|x|=3 (x=3 ou x=-3).
Alors pour tout x on a x≤|x|.
Voyons quelques propriétés de la valeur absolue
Soit x, y: nombres réels;
|x+y|≤|x|+|y|
Démonstration: soit x+y ≥ 0, alors
|x+y|=x+y≤ |x|+|y| (car x ≤ |x| et y ≤ |y|)
Soit x+y < 0, alors
|x+y|=-(x+y)= (-x)+ (-y) ≤ |x|+|y|
C.Q.F.D.
EXEMPLE :
|-1+4|<|-1|+|4|
|-1|+|4|=5.
3<5.
|x-y| ≥ |x|-|y|,(si |x|>|y|).
Démonstration posons x-y=z alors
X=y+z, et d’après la propriété précédente :
|x|=|y+z| ≤ |y|+|z|= |y|+|x-y|,
Donc : |x|-|y| ≤ |x-y|
|x*y*z|=|x|*|y|*|z|
Exercice :
Soit les nombres réels x = - 2, y = 8 et z = - 6 ; calculer:
Avancé 
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